Devoir Libre N°10
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚10
a`rendrelelundi11mars2013
`
PROBLEME 1:Medodth´enotweNe
Soitaetbtsleqseuuerxe´leda < betf: [a b]→Rune fonction de classeC2sur [a b].
On suppose en outre que :
•f(a)>0 etf(b)<0.
•f′nemetcirtstser[suvetiga´etna b],
•f′′>0 sur [a b],
´
Partie I. Etude d’une fonction
Montrezquel’´equationf(x= 0 admet une unique solution dans ]) a b[, que l’on noteraℓ.
On introduit la fonctiong: [a b]→Rfin´epaierd∀x∈[a b],g(x) =x−ff′((xx).)
Montrez quegest de classeC1dans [a bet]´ee.revias´dluzeaccl
´
Etudiez les variations deg.
Justifiez l’existence d’un couple (m Me´red)cirtssletementpositifstesluqe
∀x∈[a b]|f′(x)| ≥met|f′′(x)| ≤M
Enappliquantsuccessivementlethe´ore`medesaccroissementsfinis`agat`efliabet,´ssze
l’existenced’unr´eelL >0 tel que
∀x∈[a b]|g(x)−ℓ| ≤L|x−ℓ|2
´
Partie II. Etude d’une suite
Soit (unaprnfieiecurter´ed´erentiusal)
•u0=a
• ∀n∈N un+1=g(un)
Montrez que la suite (un)n∈Ntneemtjaroe´peraestcroissaℓ.
Montrez que la suite (un)n∈Nconverge versℓ.
`
A l’aide de la questionPartie I.5, montrez qu’il existeK >0 tel que :
∀n∈N|un−ℓ| ≤KaK−ℓ2n
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Fin du sujet
