Devoir Libre N°09
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1.
a.
b.
c.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚09
EXERCICE 1:inntCoinue´tiuemrof
a`rendrelelundi22f´evrier2013
L’objectifdecetexerciceestd’´etablirlacaracte´risations´equentielledelacontinuit´euni-
forme.Ies.igd´’dellavretninuendevionrneuritein
Caracte´risationse´quentielledelacontinuit´euniforme.
Soitf:I→Rlzeleppatinfie´dafoneu.Rontincrp´ipaortee´uantionqedelifi´efest
uniforme´mentcontinuesurI.
On suppose quefrusetcontinuorm´emenetsnufiI. Soit (xn)∈IN, (yn)∈INtelles que
lim(yn−xn) = 0. Montrez que limf(yn)−f(xn) = 0.
n n
R´eciproquement,onsupposequefri´evporpalefi:e´te´ir
∀(xn)(yn)∈IN×INnl→i+m∞(yn−xn) = 0⇒nl→i+m∞(f(yn)−f(xn)) = 0
Montrez quefsnafirotsnuenuedontientcm´emI.
2. Application
a.On consid`f:I→Rsunitnadeofcnitnouenementconuniform´I. Montrez que si
ere
(xn)∈INest convergente versx∈R, alors limf(xn+1)−f(xn) = 0.
n
b.Montrez queg(x) =xet1h(x) = sin(1xiansnoctionscontinuesmnfie´essiedtnnofs)d
uniform´ementcontinuesdansR+⋆et ]01] respectivement.
3.Entre´eenjeuduthe´oremedesaccroissementsfinis
`
Soitf: [0+∞[→Rble.nd´erivafenotcoinu
a.Sif′n´eesurestborR+, montrez quefe.tinutconetsenzietnepsliitch´mronemecnodfinu
b.Si|f′(x)→−|−−+∞, montrez quefnoitun.etpesn’ctneme´mrofinusa
x→∞
1
Fin du sujet
