Devoir Libre N°08: Années précédentes
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚08
a`rendrelelundi16janvier2012
`
PROBLEME 1:ceekdnroancceiZtersfdesenti´eprReoitatnesobiFedsn
Partie I. La suite de Fibonacci
Soit (unrainpe´dfieiuetas)l
••∀u0n=∈1Nuu1n=+22=un+1+un
Soitn∈Netpnertei`eetieadrapln2ltinossesemmOn.efid´σn=Xun−2kSn=
0≤k≤p
Xuk
0≤k≤n
De´terminezles10premierstermesdelasuite(un).
Montrez que (un) est une suite d’entiers strictement positifs et strictement croissante.
Prouvez par recurrence que pour tout entiern∈N,σn=un+1−quez-eniues´Dde.1
´
Sn=un+2−2.
PartieII.Repr´esentationdeZeckendorfdesentiers
Soitm∈N⋆unreitnenioateFndonibciacane(e´rbe´gaturelnonnul,onappleeleRrpe´estn
RF) demruerctiete´tuo
m=Xakuk
0≤k≤n
o`ulescoefficientsak, pour 0≤k≤n−a`e1tua`x0auoegt´on1san= 1. Une telle
repr´esentationseranot´ee
m=anan−1∙ ∙ ∙a0
Une RF demba´r(fneZRl)gee´ndeZationdoreckeerenuee´tnese´rpelpptaessqorelu’le
n’utilisepasdeuxtermescons´ecutifsdelasuite(un).
V´erifiezque30admetdeuxrepr´esentationsdeFibonacci30=1001101et30=1010001.
S’agit-il de RZ ?
De´termineztouteslesRFde27enpr´ecisantpourchacunes’ils’agitd’uneRZ.
PartieIII.Existenceetunicite´delaRZ
n
Montrez par recurrence surnque pour tout entiermadmettant pour RZm=Xakuk,
´
k=0
on am≤σn.
D´eduisez-enqueunnomtuqsie´psjaroarestlpelrgsuddnaonserembeFsdonibciacm:
un= max{uk
1
|
uk≤m}
3.
4.
5.
Prouvezquetoutentiernonnulposs`edeuneuniqueRZ.
De´terminezlaZRde272.
De´terminezlesZRdesnombresσnetSn.
2
Fin du sujet
