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1.a.
b.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚07
`
PROBLEME 1:mbno´eD´tilibarNede×N
a`rendrelemardi4janvier2012
Justifiez que pour tout (x y)∈N2 (, on ax+y)(x+2y+ 1)∈N.
Onconside`realorsl’applicationf:N×NdansNfinied´erap
2
∀(x y)∈N
f(x y) =y(+x+y)(x2+y+ 1)
Quelquescalculsnum´eriques:
Dansletableaudegauchefigurentquelques´el´ementsdeN2. Portez dans le tableau de
droite les valeurs defroerc.senopstnad
Cesre´sultatsnesontqu’uneindicationpourlasuite.
0
1
2
3
4
0
(00)
(10)
(20)
(30)
(40)
1
(01)
(11)
(21)
(31)
2 3
(02) (03)
(12) (13)
(22)
4
(04)
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
2.a.Etant do ´s (x y) et (x′ y′) dansN2tels quex+y≥x′+y′+ 1, montrez que
nne
f(x y)> f(x′ y′)
b.Ddu´ezesiqne-euf(x y) =f(x′ y′)⇒x+y≤x′+y′, puis que
f(x y) =f(x′ y′)⇒x+y=x′+y′
c.neuqez-seuiedD´fest injective.
3.a.tantdonn(e´Ex y)∈N2tel quex≥1, comparezf(x−1 y et+ 1)f(x y).
b.odtnatEe´nny∈N, comparezf(y+ 10) etf(0 y).
c.Montrez quefest surjective.
Onaainsie´tabliqu’ilexisteunebijectiondeN2surN, on dit queN2.leabbromend´tse
Lasuiteduproble`meapourbutded´eterminerl’ante´ce´dentd’unentierp
4.Montrez que pour tout couple (x y)∈N2,
5.
y+ 1)
(x+y)(x2+≤f(x y)<(x+y+)1(2x+y+ 2)
Etantdonn´ek∈N⋆, on noteS(nsomme des entiers compris entre 1 et) la n.
1
a.
b.
Montrez que pour tout entier non nulp∈N⋆, il existe un entiern∈N⋆, unique tel que
S(n)≤p < S(n+ 1)
Justifiezquel’e´quationd’inconnuex∈R,p=
positive,etuneseule,not´eeα. Montrez alors que
x(x+ 1)
2
α−1< n≤α
admet
c.Dezisdu´eiseuqne-f(x y) =p, alorsx+y=nety=p−S(n).
d.´d:eretee´muuqirploue(nemieczllpnexEmex y) tes quef(x
80001 = 28201a`48−2p.esr`
2
y)
une
=
solution
10000. On
r´eelle
,
donne
Fin du sujet