Devoir Libre N°06: Années précédentes
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelemercredi30novembre2011
DEVOIR LIBRE N˚06
`
PROBLEME 1:Lemniscate de Bernouilli
Leplanestrapport´e`aunRONDR= (~O~ı). On note pourθ∈R,
~uθ= cos(θ)∙~ı+ sin(θ)∙
~
~vθ=−sin(θ)∙~+ cos(θ)∙~
ı
One´tudielacourbeΓforme´edespointsM∈ Pnafiiterv´
M F×M F′= 1u`oF10etF′−10
LacourbeΓestappel´eeLemniscate de Bernouilli.
PartieI.Ge´om´etrieplane
JustifiezqueΓestsyme´triqueparrapportauxaxes(Ox) et (Oy).
D´eterminezl’intersectiondeΓaveclesaxes(Ox) et (Oy).
D´eterminezunre´elRtel que la courbe Γ soit incluse dans le disque de centreOet de
rayonR.
PartieII.Parame´trisationdeΓ
Afinderepre´senterΓ,nousallonsende´terminerunee´quationpolaire.
SoitMennodroocedeme`(esirlapoesnuopsystn,deuplaintdρ θ).
´
ExprimezM F2edtemˆemeM F′2en fonction deρetθ.
Demontrez queM∈Γsi et seulement siρ4= 2ρ2cos(2θ).
´
De´duisez-enqueρ=p2 cos(2θ)see´uqutenpseeialodser.Γeioatncnerdoon´on
PartieIII.Etudeettrace´deΓ
On noteM(θreetm`arapedtniopel)θireopalitnoqeaude´’rbouaceld
ρ(θ) =p2 cos(2θ)
c’est-a`-direlepointde´termine´parlarelationvectorielle:
−−→
OM=ρ(θ)∙~uθ
Pr´ecisezledomained’e´tudedeρ.
Donnez le tableau de signe et le tableau de variations deρsur [0 π4].
Pour quelsθ∈[0 πbruocal]4Γerpe´estn-e-tleleunetangenteortarohlaid?e
Repr´esentezl’alluredeΓ.
Fin
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