Devoir Libre N°06
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1.a.
b.
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelevendredi21d´ecembre2012
DEVOIR LIBRE N˚06
`
PROBLEME 1:NeDarbmone´de´tilib×N
Justifiez que pour tout (x y)∈N2, on a (x+y)(x+2y+ 1)∈N.
Onconsid`erealorsl’applicationf:N×NdansNdrapeinfie´
∀(x y)∈N2
f(x y) =y(+x+y)(x+2y+ 1)
Quelquescalculsnume´riques:
Dansletableaudegauchefigurentquelques´ele´mentsdeN2. Portez dans le tableau de
droite les valeurs defcorrespondantes.
Cesre´sultatsnesontqu’uneindicationpourlasuite.
0
1
2
3
4
0 1
(00) (01)
(10) (11)
(20) (21)
(30) (31)
(40)
2
(02)
(12)
(22)
3 4
(03) (04)
(13)
0
1
2
3
4
0
1
2
3
2.a.nttaEs(´enndox y) et (x′ y′) dansN2tels quex+y≥x′+y′+ 1, montrez que
f(x y)> f(x′ y′)
b.e´Dsiude-zeeuqnf(x y) =f(x′ y′)⇒x+y≤x′+y′, puis que
f(x y) =f(x′ y′)⇒x+y=x′+y′
4
c.uqeiues-zneedD´fest injective.
3.a.(Etaodtne´nnx y)∈N2tel quex≥1, comparezf(x−1 y et+ 1)f(x y).
b.E´ennodtnaty∈N, comparezf(y+ 10) etf(0 y).
c.Montrez quefest surjective.
Onaainsi´etabliqu’ilexisteunebijectiondeN2surN, on dit queN2abbromend´steel.
Lasuiteduprobl`emeapourbutdede´terminerl’ante´c´edentd’unentierp
4.Montrez que pour tout couple (x y)∈N2,
5.
(x+y)(x+2y+ 1)≤f(x y)<(x+y2+(1)x+y+ 2)
Etantdonne´n∈N⋆, on noteS(n) la somme des entiers compris entre 1 etn.
1
Justifiezquel’e´quationd’inconnuex∈R,p=
positive,etuneseule,not´eeα. Montrez alors que
x(x+ 1)
2
donne
α−1< n≤α
10000.
On
y)
=
+y=
ouple
nety=p−S(n).
(x y) tes quef(x
c.Deduisez-en que sif(x y) =p, alor
´
d.nimrlzempleExereqiun´me´eteud:
√80001 = 28284`a10−2.se`rp
sx
e c
Fin du sujet
a.
2
b.
,
Montrez que pour tout entier non nulp∈N⋆, il existe un entiern∈N⋆, unique tel que
S(n)≤p < S(n+ 1)
une
admet
re´elle
solution
