Devoir Libre N°05: Années précédentes
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelemercredi14novembre2011
DEVOIR LIBRE N˚05
EXERCICE 1:iaeronrnlllenie´´esoluequEffidnoitaeitnere´
L’objectifdecetexerciceestder´esoudresurRoinuqta’le´
ty′−2y=t3
R´esolvezl’e´quation(2)surR+⋆et surR−⋆.
AnalyseSupposons qu’il existe une fonctionϕ:R→R, solution de (2) surR.
Quelle est l’expression deϕ(t) pourt > pour0 ?,t <0 ?
Que vautϕ(0) ?
(1)
De´duisez-enl’expressiondeϕ.
Synthe`seonstrouvesfonctifiizeuqle´vrentsoteenedc´´eprnoitseuqala`see´sitnoosulibne
de (2) surR.
D´eterminezla(les)solution(s)de(2)surRntfiari´eitndcolanoivϕ(1) = 0.
EXERCICE 2:leelEtuded’une´euqtaoifnnotcoinn
Soitf:R→Rneucnofnoittnoceuniorrpltpafiina´vre´e:i´et
(⋆) pour toutx∈R f(x) =−1−Z0x(2x−t)f(t)dt
De´montrezquefest solution surRuaCedyhc`lbodemerd’o2redupr
y′′+xy′+ 3y= 0 (L)
y(0) =−1 y′(0) = 0
Re´solutionde(L)
Soity:R→Renofunoedcnitsnadfouxd´isiverleabRnO.fie´dltinafonctionz:R→R
x2Montrez queyest solution de (L) surRsi et seulement size
pary(x) =z(x)e−2. st
solution de
(D)
z′′−xz+ 2z= 0
De´montrezqueDvzo.uD´sedd´ueitmeiramlienqeureenoopyloneesn-ozsnuelitadtume
x2
−
unesolutionduprobl`eme⋆de la formef(x) =h(x)e.
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Fin du sujet
