Devoir Libre N°04: Années précédentes
1
page
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
1
page
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Licence :
Langue
Français
Publié par
Licence :
Langue
Français
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelemercredi2novembre2011
DEVOIR LIBRE N˚04
`
PROBLEME 1:eohlvPdsemoˆnycybehcTe
1. Questions de cours
a.appelezlRdnoifalee´datinficorcQus.ctonnAiobmelneesstnolesetionefinided´D? Quel
estsonensembledede´rivabilit´e?Donnezl’expressiondesade´rive´e.
b. donnez l’allure de sa courbe estDressez le tableau de variation de la fonction Arccos
repre´sentative.
c.Montrez que pour toutx∈ D (, Arccos−x) =π−Arccos (x).
d.s(corc(Aoscedee´fiilpmisnoieexpressontrezun´Dmex)) et sin(Arccos (x)) pourx∈ D.
2.a.rritomuezEpxopueltr´excos(2x) et cos(3x) en fonction de cos(x).
em
b.´Duqzertnoepourtousr´eelsxety, cos(x) + cos(y) = 2 cos(x2+) cos(x2−).
D´efinition:Soitn∈Ne´nfiO.dntionfoncitlaTn:D →RparTn(x) = cos(nArccos (x)).
3.a.Soitn≥0. CalculezTn(1),Tn(0) etTn(−1).
b.Soitx∈R, on poseg(x) =Tncos(x)−cos(nx). Que vautg(x) lorsquex∈[0 π], Quelle
estlaparit´edegpae´s?odriitic?´e
D´eduisez-enque
Pour toutx∈R Tn(cos(x)) = cos(nx)
c.Montrez que pour toutx∈ D,Tn(−x) = (−1)nTn(xrsqureloeduiend´ovsuev-zpeuo.)uQe
nest pair, lorsquen ?est impair
d.CalculezT0(x) T1(x) T2(xVt´deersiffoenczqueces)o.nnymoaielitnopslonsex.
4.a.onMeztrrtuolee´peuqtruoa, cos(n+ 2)a= 2 cos(n+ 1)acos(a)−cos(na).
b.tu´reeldu´eDotruopeuqne-zesix∈ D;
Tn+2(x) = 2xTn+1(x)−Tn(x)
c.Retrouvez ainsi l’expression deT3, puis calculezT4etT5.
5.Soitn∈N⋆.
a.nqu´eioat´Deuqzertnutolsslel’densioTn(xlee´stnosrsel=0)xk2=n1)π
emo
aveck∈[0 n−1]].cos(2k+,
´
b.Pourx∈]−11[, calculezTn′(xrte)nouati’´eqdrelesouTn′(x) = 0.
6.a.r´uJtleeitsuqzefiopeuotrua
(cos(a) +isin(a))n+ (cos(a)−isin(a))n= 2 cos(na)
b.
D´eduisez-enquepourtoutx∈ D
Tn(x) =x+i
1−x2n+x−i
2
1
1−x2n
Fin du sujet
