Devoir Libre N°02: Années précédentes
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelevendredi23septembre2011
DEVOIR LIBRE N˚02
EXERCICE 1:Sommes de coefficients binomiaux
CalcuX
lezS(x) =nnksin(kxofneitcn)lduoneer´x.
k=0
n
D´eduisez-enlavaleurdelasommeA=
CalculezdemˆemeB=⌊knX2=⌋0(−1)k2kn.
⌊n−2 1⌋
X(−1)k
k=0
2k+ 1
.
´
EXERCICE 2:Equation rationnelle
Soitn∈N⋆un entier naturel non nul etauedlee´rntervl’in]0alle π2[. On souhaite
resoudre l’equation
´ ´
11−+zizin1+=1−iiatntnaaa(1)
Pr´esen1+itanasous forme exponentielle.
tez
1−itana
Re´solvezdansCe’incoinonnudquatl’´ew∈C,wn=e2ia
Montrez–sanslescalculer–quelessolutionsde(2)sontr´eelles.
Indicationeg’´italde´eodsmselusnad)2(:xelpioetlz
D´montrez que pour toutθ∈]−π π[,i(eeiθθi−1nat=)1+θ.
e
2
Finalement,resolvezl’e´quation(2).Vousexprimerezlessolutionsa`l’aidedelafonction
´
tangente.
1
Fin du sujet
