Devoir Libre N°02
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
a`rendrelemercredi26septembre2012
DEVOIR LIBRE N˚02
EXERCICE 1:iruqseogon´mteCasedsluclirtsemmo
Soitn∈N⋆un entier naturel non nul etx∈RqeeusuOnosppr´unl.eexn’est pas un
multiple entier de 2πerid-a`-tse’c,x6≡0 [2π].
n n
Calculez les sommesCn=Xcos(kx)etSn=Xsin(kx).
k=0k=0
Vouspresenterezler´esultatsouslaformed’unproduit.
´
n
Calculez les sommesUn=X=0kncos(kx)etVn=nk=X0knsin(kx).
k
Vouspre´senterezlere´sultatsouslaformed’unproduit.
De´duisez-enlavaleurdessommes
An=⌊kn=2X−10⌋(−)k2nk+ 1
1
⌊n2⌋
et deBn=X(−1)k
k=0
´
EXERCICE 2:atquEnylopnoiedelaimodegr´e2n
2kn
1.Soitθ∈R.´RseloevdznasCl’equationz2−2 cos(θ)z+ 1 = 0.
´
2.Soitn∈N⋆un entier naturel non nul eta∈Rzevlose´R.lee´rnunsdaContiuaeq’´l
z2n−2zncos(na) + 1 = 0
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Fin du sujet
