Cours - Optique géométrique - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Miroirs sphériques et lentilles minces dans l'approximation de Gauss

MPSI - Optique - Miroirs sph´eriques et lentilles minces dans l’approximation de Gauss page 1/7
1 Miroirs sph´eriques
Miroirs sph´eriques et lentilles minces
1.1 Miroir concave (convergent) ou convexe (divergent)
dans l’approximation de Gauss
Miroir concave :
Exp´eriences et simulations permettent de conclure que les miroirs et les lentilles
sph´eriques ne donnent d’un point A une unique image A’ que dans certaines
I
conditions appel´ees conditions de Gauss :
A
C S
Les rayons lumineux sont proches de l’axe et peu inclin´es par rapport `a l’axe.
Table des mati`eres
1 Miroirs sph´eriques 1 Miroir convexe :
1.1 Miroir concave (convergent) ou convexe (divergent) . . . . . . . . . 1
A
1.2 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss . . . . . . . . . 1
1.3 Points particuliers - Distance focale - Vergence . . . . . . . . . . . 1
I
1.4 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plan focal . . 2
1.5 Mod´elisation du miroir sph´erique et constructions g´eom´etriques . . 2
S C
1.5.1 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0
1.5.2 Construction de l’image A d’un point A sur l’axe . . . . . 3
1.5.3 Construction d’un rayon r´efl´echi . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Relations de conjugaison et grandissement . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Le miroir plan (vu comme un limite du miroir sph´erique) . . . . . 4
1.2 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss
2 Lentilles minces 4
2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I
2.2 Lentille mince convergente ou divergente . . . . . . . . . . . . . . . 5
i
2.3 Stigmatisme approch´e dans les conditions de Gauss - Vergence . . 5 i
2.4 Points particuliers - Distance focale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
α β α'
2.5 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plans focaux 5
A C A' H S
2.6 Mod´elisation de la lentille mince et constructions g´eom´etriques . . 6
2.6.1 Mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0
2.6.2 Construction de l’image A d’un point A sur l’axe . . . . . 6
2.6.3 Construction d’un rayon transmis . . . . . . . . . . . . . . 6
2.7 Relations de conjugaison et grandissement . . . . . . . . . . . . . . 7
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0 0
i =β−α =α −β⇒α+α = 2β f distance focale objet
Dans les conditions de Gauss ou` les rayons sont proches de l’axe et peu inclin´es
Un rayon parall`ele `a l’axe optique (issu d’un point `a l’∞ sur l’axe) est r´e-
par rapport `a l’axe :
0
fl´echi en passant par F .
Un rayon passant par F est r´efl´echi parall`element `a l’axe optique ( convergeant
HI HI HI
0
α'− α '− β'−
0 vers un point `a l’∞ sur l’axe).
SA SA SC
d’ou` la relation de conjugaison (ind´ependante du rayon consid´er´e)
1.4 Aplan´etisme approch´e dans les conditions de Gauss - Plan
1 1 2
focal
+ =
0
SA SA SC
Voir simulation.
On parle de stigmatisme approch´e
Stigmatisme dans les conditions de Gauss :
miroir spherique
0
A−−−−−−−−−−−→A
miroir spherique
0
A−−−−−−−−−−→A
On dit que A’ est le conjugu´e de A ou encore que A et A’ sont conjugu´es.
miroir spherique
0
B−−−−−−−−−−→B
1.3 Points particuliers - Distance focale - Vergence
0
Aplan´etisme dans les conditions de Gauss : B est dans le plan perpendiculaire `a
0
Si A =C alors A =C 0
l’axe passant pas A.
miroir spherique
C−−−−−−−−−−−→C
De mˆeme
miroir spherique
0
A −−−−−−−−−−→F
∞
0 0
Si A =A alors A =F
∞
miroir spherique
B −−−−−−−−−−−→
miroir spherique
∞
0
A −−−−−−−−−−−→F
∞
0
le conjugu´e de B est dans le plan perpendiculaire a` l’axe passant par F appel´e
∞
0
F foyer image tel que
plan focal.
SC 1
0
0
SF = =f =
2 V
1.5 Mod´elisation du miroir sph´erique et constructions g´eom´e-
0
f distance focale image et V vergence
triques
0 0
Si A =A alors A =F
1.5.1 Mod´elisation
∞
miroir spherique
0
F−−−−−−−−−−−→A
∞
Cette mod´elisation concerne le miroir sph´erique utilis´e dans les conditions de
F foyer objet tel que
Gauss.
On dilate les sch´emas perpendiculairement `a l’axe optique.
SC
SF = =f
Miroir concave :
2
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B
C A' F
C F’ S
A
B'
Miroir convexe :
1.5.3 Construction d’un rayon r´efl´echi
S F’ C
stigmatisme aplanetisme
0 0
B →A −−−−−−−→F −−−−−−−→B
∞ ∞
On fait comme si le rayon parvenait d’un point `a l’infini en dehors de l’axe; le
0
rayon parall`ele passant par C (provenant aussi de B ) coupe le plan focal en B
∞
0
conjugu´e de B ; Tous les rayons issus de B convergent en B apr`es r´eflexion
Attention, les lois de la r´eflexion ne sont plus v´erifi´ees sur le sch´ema (sauf en S)!
∞ ∞
0
(stigmatisme), le rayon est donc r´efl´echi en passant par B
0
1.5.2 Construction de l’image A d’un point A sur l’axe
B
1
stigmatisme aplanetisme
0 0
A→B−−−−−−−→B −−−−−−−→A
0
C F
L’image d’unpoint´etant un point, deuxrayons suffisentpour trouverB a` choisir
parmi les 3 rayons remarquables suivants :
– Le rayon parall`ele a` l’axe (issu d’un point `a l’infini sur l’axe) et passant par
B'
0
B est r´efl´echi en passant par F ;
– Le rayon passant par B et par F est r´efl´echi parall`element `a l’axe;
– Le rayon passant par B et par C est r´efl´echi en repassant par C.
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1.6 Relations de conjugaison et grandissement avec origine aux foyers ou encore formule de Newton
2
2 SC
2
B 0
FA.FA =SF =f =
I
4
Le grandissement
C A' F S
0 0 0 0 0
A AB SA CA SF FA
γ = =− = =− =−
J
AB SA CA FA SF
B'
1.7 Le miroir plan (vu comme un limite du miroir sph´erique)
SC→∞⇒V = 0, le miroir plan est afocal
Dans les triangles ABS et A’B’S 1 1
0
+ = 0⇒SA =−SA et γ = +1
0
SA SA
0 0
AB AB
=−
0
SA SA
2 Lentilles minces
Dans les triangles ABC et A’B’C
2.1 D´efinition
0 0
AB AB
=
0
CA CA
Dans les triangles ABF et SJF
0 0
AB AB
− =
FA SF
C2 S1 S2 C1
Dans les triangles A’B’F et SIF
0 0
AB AB
− =
0
FA SF
Onend´eduitlarelationdeconjugaisonavecorigineausommetouencoreformule
La lentille mince est constitu´ee de deux dioptres sph´eriques qui v´erifient :
de Descartes (d´ej`a vu)
e =S S C S
1 1 2
1 2 1 1
+ =
0
SA SC
SA
eC S
2 2
avec origine au centre
eC C
1 2
1 1 2
+ =
0
alors S 'S 'O centre de la lentille.
CA CA CS 1 2
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2.2 Lentille mince convergente ou divergente La relation de conjugaison donne alors la relation entre la position de A et de
0
son conjugu´e A :
Lentille mince convergente :
1 1
− =V
0
OA OA
en fonction de la vergence V > 0 pour une lentille mince convergente et V < 0