Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Dynamique en référentiel non galiléen

MPSI - M´ecanique II - Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een page 1/3
(a +a = 0 ne pouvant ˆetre qu’exceptionnel) :
e c
Dynamique en r´ef´erentiel non galil´een
0
a = 0⇒ω = 0⇒a =a(O ) = 0
c e R
Table des mati`eres
0
R est donc en translation rectiligne uniforme par rapport `aR
1 Principe de relativit´e galil´eenne 1
1.1 R´ef´erentiels galil´eens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
L’ensemble des r´ef´erentiels galil´eens est constitu´e par tous les r´ef´erentiels en
1.2 Relativit´e galil´eenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
translation rectiligne uniforme par rapport a` l’un d’entre eux.
2 Lois de la dynamique en r´ef´erentiel non galil´een 1
1.2 Relativit´e galil´eenne
2.1 PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0
2.1.1 Forces d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
SoitR en translation rectiligne uniforme par rapport `aR galil´een.
2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe . . . 2
2.2 Th´eor`eme du moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
De mˆeme que pour le temps, la m´ecanique newtonienne postule ´egalement
2.3 Th´eor`eme de la puissance cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
(implicitement) l’invariance de la masse et de la force :
0 0 0
t =t m =m F =F
3 Caract`eregalil´een approch´e de quelques r´ef´erentielsd’utilisation
courante 2
0 0
En notant u = v(O ) = cte la vitesse deR par rapport `aR, la composition
R
3.1 R´ef´erentiel de Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
des vitesses donne :
3.2 R´ef´erentiel h´eliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0
v =v−u
3.3 R´ef´erentiel g´eocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 0
Soit p la quantit´e de mouvement dansR
3.4 R´ef´erentiel terrestre - Poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 0 0
p =mv =m(v−u)
1 Principe de relativit´e galil´eenne
R ´etant galil´een :
0
dp dp
0
1.1 R´ef´erentiels galil´eens
= =F =F
0
dt dt
Le PFD a donc mˆeme formulation dans tous les r´ef´erentiels galil´eens; plus g´en´e-
Rappel : un r´ef´erentiel est galil´een si, dans ce r´ef´erentiel, un point mat´eriel isol´e
ralement :
a` un mouvement rectiligne uniforme.
Soit M un point mat´eriel isol´e dansR galil´een alors a(M) = 0 Dans des r´ef´erentiels en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux
R
autres, appel´es r´ef´erentiels galil´eens, les lois de la physique sont invariantes. Ou
0
SoitR un autre r´ef´erentiel; la composition des acc´el´erations donne : encore : les lois de la physique restent les mˆemes dans n’importe quel r´ef´erentiel
galil´een.
0
a(M) =a(M) +a +a
R R e c
Leprincipederelativit´ereposedoncsurcetteimpressionquel’onad’ˆetrea`l’arrˆet
0
R est galil´een si a(M) 0 = 0 c’est `a dire si :
R
quand on est dans un v´ehicule qui se d´eplace rectilignement sans cahot a` vitesse
a =a = 0 constante.
e c
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007
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0
2 Lois de la dynamique en r´ef´erentiel non galil´een Si R est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de R (voir chapitre
pr´ec´edent) :
0
2
SoientR en mouvement quelconque par rapport `aR galil´een et F la r´esultante
a =−rω e a = 2ωr˙e
e r c θ
des forces s’exerc¸ant sur un point mat´eriel M.
donc :
2
F =−ma = +mrω e F =−ma =−2mωr˙e
ie e r ic c θ
2.1 PFD
F est par exemple la force centrifuge qui tend a` nous expulser d’un man`ege
ie
2.1.1 Forces d’inertie
2.2 Th´eor`eme du moment cin´etique
DansR galil´een :
0 0
ma(M) =F
R
Soit O un point fixe deR en mouvement quelconque par rapport a`R galil´een
et F la r´esultante des forces s’exerc¸ant sur un point mat´eriel M.
En utilisant la composition des acc´el´erations :
0 0
D´erivons le moment cin´etique en O du point M dansR
0
m(a(M) +a +a ) =F
R e c
0
L 0(M) 0 =OM∧mv(M) 0
O R R
ou encore :

0 0
ma(M) 0 =F−ma −ma dL (M)
R e c O R
0
=v(M) 0∧mv(M) 0 +OM∧ma(M) 0
R R R
dt
0
0
R
DansR non galil´een, on peut appliquer le PFD en rajoutant les forces d’inertie
0
Le PFD dansR donne
d’entraˆınement et de Coriolis :

dL 0(M) 0
O R
0
=OM∧(F+F +F )
ie ic
F =−ma F =−ma
ie e ic c
dt
0
R
0
Ces forces n’´etant pas li´ees `a la pr´esence d’un autre corps (masse, charge) mais
DansR non galil´een, on peut donc appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique
seulement au caract`ere non galil´een du r´ef´erentiel, sont plutoˆt appel´ees pseudo-
en rajoutant les moments des forces d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis.
forces.
2.3 Th´eor`eme de la puissance cin´etique
2.1.2 Translation et rotation uniforme autour d’un axe fixe
0
Soit R en mouvement quelconque par rapport `a R galil´een et F la r´esultante
0
des forces s’exerc¸ant sur un point mat´eriel M,
SiR est en translation par rapport `aR (voir chapitre pr´ec´edent) :
0
0
a =a(O ) a = 0
e R c multiplions scalairement par v(M) 0 le PFD dansR
R

0
dv(M)
R
donc :
0 0
m .v(M) = (F+F +F ).v(M)
R ie ic R
0
dt
0
F =−ma =−ma(O ) F =−ma = 0
R
ie e R ic c
on obtient :
F est par exemple la force qui nous plaque contre le si`ege d’une voiture qui
ie


acc´el`ere. 0
dE (M)
c R
=F.v(M) 0 +F .v(M) 0 +F .v(M) 0
R ie R ic R
dt
0
R
Damien DECOUT - Derni`ere modification : f´evrier 2007
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comme F =−ma =−2mω∧v(M) 0 3.4 R´ef´erentiel terrestre - Poids
ic c R
Le r´ef´erentiel terrestre a pour origine un point A `a la surface de la Terre et ses
F .v(M) 0 = 0
ic R
axes :
Ox suivant un m´eridien dans la direction Nord-Sud
0
Finalement, dansR non galil´een, on peut appliquer le th´eor`eme de la puissance
Oy suivant un parall`ele dans la direction Ouest-Est
cin´etique en rajoutantseulement la puissancedelaforce d’inertied’entraˆınement,
Oz suivant la verticale ascendante du lieu
la puissance de la force d’inertie de Coriolis ´etant nulle.
tournent autour de l’axe poˆle Sud-pˆole Nord. On supposera :
ω =cte
Rterrestre/R
g´eocentrique
3 Caract`eregalil´eenapproch´edequelquesr´ef´erentiels
ce qui revient `a consid´erer que le r´ef´erentiel terrestre est en rotation uniforme
d’utilisation courante
autour d’un axe fixe du r´ef´erentiel g´eocentrique que l’on consid´erera galil´een; le
r´ef´erentiel terrestre n’est donc pas galil´een.
3.1 R´ef´erentiel de Copernic
Le r´ef´erentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du syst`eme solaire
méridien
(presque confondu avec le centre du Soleil) et ses axes sont dirig´es vers trois
~e (verticale)
z
´etoiles suffisamment ´eloign´ees pour pouvoir ˆetre consid´er´ees comme fixes.
A
~e (est)
y
parallèle
Il est galil´een avec une excellente approximation.
~e (sud)
x
θ
3.2 R´ef´erentiel h´eliocentrique
λlatitude
O
Idem avec comme origine le centre du Soleil.
ϕlongitude
Il est galil´een avec une excellente approximation.
équateur
3.3 R´ef´erentiel g´eocentrique Appliquons le PFD dans le r´ef´erentiel terrestre `a un point mat´eriel M de masse
m soumis en plus de l’attraction terrestre `a une r´esultante des forces f :
Le r´ef´erentiel g´eocentrique a pour origine le centre de la Terre et ses axes gardent
unedirection fixeparrapport`a ceuxdur´ef´erentiel deCopernic; le r´ef´erentielg´eo-
ma(M) =mG +f +F +F
ie ic
centriqueest doncentranslationelliptiqueparrapportau r´ef´erentieldeCopernic.
2
ma(M)