Cours - Mécanique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Mouvement dans un champ de forces centrales conservatives

MPSI-M´ecaniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

Mouvement dans un champ de forces
centrales conservatives

Tabledesmatie`res

1

2

3

Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Exempledelaforcee´lectrostatique..................
1.3Ge´ne´ralisation..............................

Loisg´ene´ralesdeconservation
2.1Conservationdumomentcine´tique..................
2.1.1Plane´ite´dumouvement....................
2.1.2Int´egralepremieredumouvement...............
`
2.1.3 Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2Conservationdel’e´nergie(m´ecanique)................
2.2.1Int´egralepremie`redumouvement...............
´
2.2.2 Energie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
2.2.3Etatsdediffusion,´etatslie´s..................

Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien
´
3.1Equationgene´raledelatrajectoire..................
´
3.2 Interaction ´ ulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rep
3.3 Interaction attractive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.3.1 Etat de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.3.2Etatli´e.............................
3.4Mouvementsdesplane`tes-LoisdeK´epler..............

3.4.1LoisdeKe´pler.........................
3.4.2 Vitesses cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

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5

1 Forces centrales conservatives
1.1 Exemple de la force de gravitation

SoientM1de massem1etM2de massem2

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F1→2=−F2→1=−G(mM1mM22)2MM11MM22
1
avecG= 66710−11kg−1 m3 s−2
On supposera queMde massemseecferortdencenparuir´etatt
de massem0m
F=−Gm02mer
r
δW=FdOM=−A2er(drer+r der) =−A dr2=−dEp
r r
avecEp=−rAen prenantEp(∞) = 0
1.2Exempledelaforcee´lectrostatique

SoientM1de chargeq1etM2de chargeq2

1q1q2M1M2
=
F1→2=−F2→14π0(M1M2)2M1M2

avec4π10= 9109SI
On supposera queMde chargeqet de masseme´atseritt
par un centre de force fixeOde chargeq0et de massem0m

δ

F= 10q02qer
4π r
W=FdOM=Br2er(drer+r der) =Bdrr2=−dEp

avecEp=rBen prenantEp(∞) = 0

ou

fixe

O

´
repousse

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

remarquegearivatfsroecdsuliectrosttatiioqnueets´qepaomlereil:snc’o
s’exercentparexempleentredeuxe´lectrons
FFeg=me24π10G=
421042
D’unemani`erege´n´erale,`al’´echellemicroscopique,lesforcesdegravitationsont
n´egligeablesdevantlesforces´electrostatiques.

1.3Ge´n´eralisation

Force centrale si :

F=F(r)er

conservative si :
δW=−dEp
Pourlesforcesdegravitationet´electrostatiquesquel’onappelleinteractions
newtoniennes
F(r)kr2et Ep=cEravekp(∞) = 0
=
k=−Gm0m < ;0 pour l’interaction gravitationnelle

k 1= 40q0qitatsortge´n,euqifat,opru’linteraction´elec
π
diff´erent,positifsiq0etqmnˆee.mesdieg

2Loisg´ene´ralesdeconservation

siq0

etqde signe

Soit M de massemet de vitessevoserns-rtlaseocroeccsnechampdefumis`aun
vativesF=F(r)erape´cnure´rcdefenert.Oroec

2.1Conservationdumomentcine´tique

2.1.1Plan´eit´edumouvement

ddLtO=MO=OM∧F=rer∧F(r)er= 0⇒LO=cte
CommeLO=OM∧mv,OMetvesrlacudienrppenttea`seriLO=cte,OM
etvdonc contenus dans le plan perpendiculaire asont LO=cte: le mouvement
`
est plan.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:fe´vrier2007

2.1.2

Int´egralepremi`eredumouvement

Dansceplan,choisissonslescoordonne´espolaires(r θ) :

commeLO=cte:

OM=rer

˙
˙
v=rer+rθeθ

LO=OM∧mv=mr2θ˙ez

2θ˙
r=cte=C

appel´eint´egralepremi`eredumouvement,Cconstante des aires.

2.1.3 Loi des aires
L’airebalay´eependantdt

Lavitesseae´rolaire:

dA=12×r×rdθ21=r2dθ

ddtA12=r2θ2˙=1C=cte

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Lesairesbalay´eespendantdesdur´eese´galessont´egalescequiexpliquel’ac-
c´ele´rationdeMlorsqu’ilserapprocheducentredeforceetsonralentissement
lorsqu’ils’ene´loigne.

2.2Conservationdel’e´nergie(me´canique)

2.2.1Int´egralepremie`redumouvement

F=F(r)erlenetoleitrenepeigd’nte´un´edvariEp(rl’´energei),
conserve :
Em12=m(r˙2+r2θ˙2) +Ep(r) =cte
appele´int´egralepremie`redumouvement.

m´ecaniquese

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

´
2.2.2 Energie potentielle effective

1˙2
Em2mr2+1mr2θ˙2+Ep(r)
=
1mr2θ˙2=
2 2mr2(r2θ)˙22=mr2C2

2mC2
Em1=2mr2+˙r2+Ep(r)

L’e´nergieme´caniquened´ependplusqueder˙ etr:
leterme12mr˙2elaidareuqitstepeap´e´lreneceige´ni
le termem2rC22+Ep(r) =Epef fevieelltceffntiepotergie´enelee´atppse

Em21=mr˙2+Effpe(r) =cte

´
2.2.3Etatsdediffusion,e´tatslie´s
Letermecin´eti12´ ositif,Em=cteest la plus grande vale
˙ etant
que2mrp ur que
puisse prendreEpffe(r) ; les valeurs derpour lesquellesEpef f> Emsont donc
inaccessibles.

Sir > rminsiffuonlrap´’detateided,on

Sirmin≤r≤rmax´eatlinoap,´’telrde

3 Mouvement dans un champ de forces centrales new-
tonien

Lemouvementve´rifielesproprie´t´esg´en´eralesdumouvementdansunchamp
deforcescentralesconservatives(plane´ite´dumouvement,loidesaires,e´nergie
potentielle effective) avecF(r) =rk2etEp=kr

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

3.1

´
Equationge´ne´raledelatrajectoire

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Onpeutalorsmontrer(voirTD)quelatrajectoiredupointM,rep´ere´parses
coordonn´eespolairesapoure´quation(enchoisissantOxaxedesyme´triedela
trajectoire)
r(θ) = 1 +epcosθ
Onreconnaıˆtl’´equationd’uneconique:

sie >olrbpehye´dM,1enutirce

siele,M=1´dceirutenaparob

si 0< e <1,Md´ecrnutilleeespi

sieMd0,cr´eunitrccel=e

3.2Interactionr´epulsive

Epef f

Em

rmin

k >0

r

MPSI-Me´caniqueII-Mouvementdansunchampdeforcescentralesconservatives

r > rmincherpprontreducecr`eedofuaenatet,´siffudideepenM,noa’ssaptu
distanceinfe´rieurea`rminositttep,celeleelppa’semeˆrtxenoitrenicerpe´.

Latrajectoirecorrespondantecorresponda`unebranched’hyperbole.

3.3

3.3.1

Interaction attractive

´
Etat de diffusion

Epef f

Em

rmin

k <0

Em>0

r > rmin, on observe encore un etat de diffusion.
´

La trajectoire est encore une branche d’hyperbole.

DamienDECOUT-Dernie`remodification:f´evrier2007

r

Le cas particulierEm.euqarapilobopdnrrse0=ocoirejectetra`aun

3.3.2

´
Etat li´
e

Epef f

Em

rmin

< E <
E mpef f min0

rmax

rmin≤r≤rmaxatet,´ap,l´elidnoitisoserrocMeant`pondarmin
p´ericentre,llceorecspreadnoa`tnrmaxapocentre.

La trajectoire est elliptique.

r

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estappel´ee

Le cas particulierrmin=rmax=R.rrocespond`aunetrajetcioericcrluiaer

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3.4

Mouvementsdesplane`tes-LoisdeK´epler

3.4.1LoisdeKe´pler

Cesloishistoriquesconcernentlesmouvementsdesplane`tesautourduSoleil,
ellessege´n´eralisenta`touslesmouvementsa`forcegravitationnellecentrale.

1reltuuodru`eansate:loiples
foyersestoccupe´parleSoleil.

Soleilde´criventdesellipsesdontl’undes

2entdasdelaioedasrisep;nelan`eteob´eit`alemevuomepenu’dtn:loil
dur´ees´egalesΔt, le rayon vecteurOMsgalees´esaireyedabalS=2CΔtu`oC
estlaconstantedesaireslie´ea`laplane`teconsid´ere´e.