Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Oscillateur harmonique - Régime libre
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01 janvier 2010
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Français
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MPSI-M´ecaniqueI-Oscillateurharmonique-Re´gimelibre
Oscillateur harmonique -
Re´gimelibre
L’importancedel’oscillateurharmoniquea`undegre´delibert´eenphysique,
justifie qu’on lui consacre un chapitre.
Tabledesmati`eres
1
Oscillateur harmonique
2 Oscillations libres
2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations . . . . . . .
´
2.2Etudee´nerg´etique........................
3
1
Oscillations libres amorties
3.1Tempsderelaxation-Facteurdequalite´...........
3.2R´egimepseudo-pe´riodique...................
3.3Re´gimeape´riodique.......................
3.4 R´gime critiq
e ue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
3.5Etude´energ´etique........................
Oscillateur
harmonique
1
1
1
2
2
2
2
3
3
4
Onappelleoscillateurharmoniquetoutsyste`mea`undegre´deliberte´dont
l’´evolutionaucoursdutemps(enl’absenced’amortissementetd’excita-
tion)estr´egiparl’e´quationdiff´erentiellesuivante:
dd2xt2+ω20x= 0
quelle que soit la nature physique de la variablex.
DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007
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L’oscillateurharmoniquee´voluedansunpuitsdepotentieldetypeparabo-
lique :
soit :
Ep(x) =Ep)0(21+kx2
soit :
1
Ep(x)'Ep(0) + 2kx2
auvoisinaged’unepositiond’´equilibrestable(voircourspre´c´edent).
L’oscillateurharmoniqueestsoumis`auneforcederappelproportion-
ll `
ne e ax:
FdEp−kx
=−=
dx
2
2.1
Oscillations libres
Pulsation propre - Isochronisme des oscillations
x(t) =xmcos(ω0t+ϕ)
˙x(t) =−xmω0sin(ω0t+ϕ) =v(t)
xmetϕleias.nsioitintnosimrete´drlpaesn´itndcoes
Six(0) =x0etv(0) =v0alors :
2
xm=sx02+ωv00
t nϕv0
a =−
ω0x0
Lape´riodeT02=π´dnitsese’cenutel;stiaisnnitioicondedesdantepen
ω0
proprie´te´importantedel’oscillateurharmoniqueappel´eeisochronismedes
oscillations.
´
MPSI-MecaniqueI-Oscillateurharmonique-R´egimelibre
2.2
´
Etudee´nerge´tique
ϕ=)21kx2m
Em=Ec+Ep2=1mx2mω02sin2(ω0t+ϕ)+12kx2mcos2(ω0t+
Calculons la valeur moyenne deEp
T
pi=T1Z0Ep(t)dt=kx22mhcos2(ω0t+ϕ)i=kx42m
hE
dˆeme:
e m
kx2m
hEci=4
Pendantlemouvement,ilya´equipartition,enmoyenne,desformescine´-
tiquesetpotentiellesdel’´energie.
3
hEpi=hEci=Em
2
Oscillations libres amorties
3.1Tempsderelaxation-Facteurdequalite´
Avecamortissement,l’e´quationdiff´erentielledevient:
que l’on met sous la forme :
mx=−kx−hx˙
¨
¨x+ 2α˙x+ω20x= 0
avec 2α=hetω2k
m0= , ou encore :
m
˙
x¨ +x+ω2x= 0
τ0
DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007
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o`uτeel´stiepeapemntqupsoisnu’dnaltnemidtanteayatuneconssetemps
de relaxation´teurtsaetanledallicso’pulsation propre.
,ω0
Pourd´ecrirel’oscillateuramorti,onpeutpr´ef´ereraucouple(ω0,τ) le couple
(ω0,Q),Qpaepisnominenadsl´ete´estr`eamarnptuane´tiqualurdeactef
de´finipar:
ω0
Q=ω0τ= 2τTπ=2ωα0=m
0h
Une solution en exp(rt) existe si :
r2+ 2αr+ω20
0=
Suivantlesignedudiscriminantre´duit,plusieursre´gimessontpossibles:
3.2
Δ0=α2−ω02
e
R´gimepseudo-p´eriodique
Si les frottements sont faibles alorsα < ω0,Q >12etΔ0<0
x(t) = e−αt(Acos Ωt+Bsin Ωt)
en introduisant la pseudo-pulsation Ω telle que Ω2=ω02−α2(Δ0=−Ω2=
(iΩ)2etr=−α±iΩ).
−
x˙ =−αeαt(Acos Ωt+Bsin Ωt) + e−αtΩ(−Asin Ωt+Bcos Ωt)
=A=x0
˙xx(=()0)0−αA+ ΩB=v0
x(t) = e−αt(x0cos Ωt+v0Ω+αx0sin Ωt)
MPSI-Me´caniqueI-Oscillateurharmonique-Re´gimelibre
Unetellee´volutionderetourversun´etatpermanentest
relaxation ; ce retour se fait au bout de quelquesτ.
T0
1
−
14Q2
qualifie´e
est lapseudo-periode.
´
de
2π T0
T == =
Ω1−ωα02
Lade´terminationexp´erimentaledeδ= lnx(tx+(t)T)e´leppatenme´rce´d
logarithmique:e´tcteulefaualirdeqteedepmrlureaccl
δ=αT=ω20TQ
DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007
=
π
2
Q−14
3.3R´egimeape´riodique
Si les frottements sont importants alorsα > ω0,Q <Δte210>0
x(t) = e−αt(Acosh Ω0t+Bsinh Ω0t)
avec Ω02=α2−ω20(r=−α±Ω0).
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x˙ =−αe−αt(Acosh Ω0t+Bsinh Ω0t) + e−αtΩ0(Asinh Ω0t+Bcosh Ω0t)
x˙x0(=)(0)=A−α=Ax+0Ω0B=
v0
3.4
x(t) = e−αt(x0cosh Ω0t+v0+Ω0αx0sinh Ω0t)
Re´gimecritique
Siα=ω0,QΔte21=0= 0
−
x(t) = eαt(At+B)
MPSI-Me´caniqueI-Oscillateurharmonique-Re´gimelibre
(r=−α).
x˙ =−αe−αt(At+B) + e−αtA
xx=(()0˙0)=−αB=Bx+0A=v0
x(t) = e−αt((v0+αx0)t+x0)
L´egimecritiquen’estjamaisr´ealis´ephysiquementexactement.
e r
3.5
´
Etude´energ´etique
ddEm=Pnc=−hv2<0
t
DamienDECOUT-Dernie`remodification:janvier2007
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