Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Dynamique du point en référentiel galiléen

MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 1/6
2
4.2.2 Chute libre avec frottement en v . . . . . . . . . . . . 5
Dynamique du point en r´ef´erentiel
4.3 Tension d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Force de rappel ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
galil´een
4.5 Force de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
e
Il faut bien comprendre que la 2 loi de Newton rappel´ee dans le chapitre d’in-
troduction `a la m´ecanique classique appliqu´ee dans notre r´ef´erentiel Oxyz
1 Lois de Newton
consid´er´e galil´een, suffit `a r´esoudre tous les probl`emes analytiquement ou
re
num´eriquement. Nous aurions pu en rester la`.
1 loi ou principe d’inertie Dans un r´ef´erentiel galil´een, un point mat´eriel
Tout ce qui suit va faciliter la r´esolution (et donc souvent la compr´ehension) de
isol´e `a un mouvement rectiligne uniforme.
certains probl`emes.
e
2 loi ou principe fondamental de la dynamique Dans un r´ef´erentiel gali-
Nous venons de voir que la description du mouvement d’un point peut-ˆetre sim-
l´een ma =F.
plifi´ee avec d’autres syst`emes de coordonn´ees et d’autres bases.
e
3 loi ou principe de l’action et de la r´eaction Les forces d’interaction r´e-
e
Un peu dans le mˆeme ´etat d’esprit, nous allons voir que la 2 loi peut s’´ecrire
ciproque quis’exercent entredeux points mat´eriels sontoppos´ees et ont pour
autrement en faisant apparaˆıtre de nouvelles grandeurs qui peuvent s’av´erer tr`es
support la droite joignant ces points.
utiles pour certains probl`emes.
Enfin nous ferons l’inventaire des forces qui interviennent le plus couramment
dans les probl`emes.
2 Quantit´e de mouvement
2.1 D´efinition
Table des mati`eres
La masse (inertielle) ´etant invariante en m´ecanique clasique on a :
1 Lois de Newton 1
dv d
ma =m = (mv)
dt dt
2 Quantit´e de mouvement 1
2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
La grandeur :
2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 1
p =mv
2.3 Conservation de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . 2
est appel´ee quantit´e de mouvement du point M ou` m est la masse de M et v
son vecteur vitesse.
3 Puissance, travail et ´energie cin´etique 2
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Th´eor`eme de la puissance cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement
3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
e
La 2 loi peut alors s’´ecrire en faisant apparaˆıtre la quantit´e de mouvement :
3.4 L’´energie cin´etique se conserve-t-elle? . . . . . . . . . . . . . . . . 3
dp
=F
4 Forces 3
dt
4.1 Force de pesanteur - Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
e
4.2 Force de frottement dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Comme la 2 loi, le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s’applique dans un
4.2.1 Chute libre avec frottement en v . . . . . . . . . . . . . 4 r´ef´erentiel galil´een.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007
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2.3 Conservation de la quantit´e de mouvement P =F.v
est la puissance de la r´esultante des forces F qui s’exercent sur M ou` v est la
Si F = 0 (point isol´e ou pseudo-isol´e) alors :
vitesse de M.
p =cte
δW =F.dOM =F.vdt =P(t)dt
re
ou encore v =cte et l’on retrouve la 1 loi de Newton.
est le travail ´el´ementaire de la r´esultante des forces F qui s’exercent sur M ou`
dOM est le d´eplacement ´el´ementaire de M.
Pour un syst`eme quelconque aussi complexe soit-il nous verrons que la
e
2 loi peut s’´ecrire :
Le travail W entre deux instants t et t s’´ecrit :
1 2
dP
=F
ext
Z Z
dt
t M
2 2
P
ou` P = p est la quantit´e de mouvement totale du syst`eme et F la r´esul- W = P(t)dt = F.dOM
i ext
i
t M
1 1
tante des forces ext´erieures au syst`eme.
La conservation de la quantit´e de mouvement permet alors d’expliquer le recul
enfin :
d’un canon :
1
2
E = mv
l’ensemble canon-projectile ´etant immobile, la quantit´e de mouvement totale c
2
est nulle; la r´esultante des forces ext´erieures s’exer¸cant sur l’ensemble canon-
est l’´energie cin´etique de M ou` m est la masse de M et v sa vitesse.
projectile ´etant nulle, la quantit´e de mouvement se conserve, elle reste nulle;
donc si le projectile part d’un cˆot´e, il faut que le canon parte `a l’oppos´e pour que
la quantit´e de mouvement totale reste nulle. 3.2 Th´eor`eme de la puissance cin´etique
Les avions a` r´eaction et les fus´ees fonctionnent aussi sur ce principe : du gaz est
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
´eject´e d’un coˆt´e pour propulser l’avion ou la fus´ee de l’autre coˆt´e.
dE
c
=P
dt
3 Puissance, travail et ´energie cin´etique
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la puissance de la r´esultante des forces exerc´ees sur
M est ´egale `a la d´eriv´ee par rapport au temps de son ´energie cin´etique.
3.1 D´efinitions
e
Multiplions scalairement la 2 loi de Newton par v :
3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
ma.v =F.v
Toujours d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
!

2
2 2 2
v
dv dv dv d v d d v d v
x y z y
x z
a.v = v + v + v = + + = , dE =δW
x y z
c
dt dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
donc :

qui constitue la forme diff´erentielle du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En int´e-
d 1
2
grant entre deux instants t et t
mv =F.v
1 2
dt 2
Z Z
ou encore :
t M
2 2
1
2 ΔE =E (t )−E (t ) =W = P(t)dt = F.dOM
c c 2 c 1
d mv =F.vdt =F.dOM
t M
1 1
2
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 3/6
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la variation d’´energie cin´etique de M entre deux Projection : il s’agit de choisir le param´etrage le plus appropri´e au probl`eme;
instants t et t est ´egale au travail de la r´esultante des forces qui s’exercent sur les coordonn´ees cart´esiennes avec un axe colin´eaire `a g sont, pour la chute
1 2
M entre ces deux instants. libre, les plus appropri´ees.
Attention : en g´en´eral W =W(t )−W(t ).
2 1
z
3.4 L’´energie cin´etique se conserve-t-elle?
~g
Si F = 0 (point isol´e ou pseudo-isol´e) alorsP = 0 et E =cte.
c
Contrairement a` la conservation de la quantit´e de mouvement qui reste
~v
0
valable pour les syst`emes, la conservation de l’´energie cin´etique n’est valable que
pour le point; celle-ci est par exemple mise en d´efaut sur l’exemple du syst`eme
canon-projectile.
α
Nous verrons que pour un syst`eme, le th´eor`eme de la puissance cin´etique
x
s’´ecrit :
O
dE
c
=P +P
int ext 
 
dt
x =v cosαt
0

a = 0 v =v cosα
  
x x 0
y = 0
ou` E est l’´energie cin´etique totale du syst`eme,P la puissance des forces ext´e-
c ext a = 0 v = 0
y y
   1
 2
rieures qui s’exercent sur le syst`eme etP la puissance des forces int´erieures qui
int
a =−g v =−gt+v sinα
z =− gt +v sinαt
z z 0 0
2
s’exercent sur le syst`eme. C’est justement la pr´esence de P qui est a` l’origine
int
Pour trouver l’´equation de la trajectoire, il suffit d’´eliminer t :
de la non conservation de l’´energie cin´etique.
x g
2
t = z =− x +tanαx
2 2
v cosα 2v cos α
0
0
4 Forces
Pour trouver la port´ee, il faut r´esoudre z = 0 :
4.1 Force de pesanteur - Chute libre

 x = 0
Soit un projectile de masse m lanc´e avec une vitesse initiale v et soumis
2
0
v sin2α π