Cours - ESSENTIEL de mécanique des fluides – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*,

Lyc´eeHoche09/12

ESSENTIEL P.Piquemal

Statique des fluides, milieu fluide continu

Mode`lecontinuNombredeKnudsen

Milieu continu siKn=plLm1.

Me´caniquedesfluides

ContraintesUn fluide, de volumeVemre´ecefruafdtearepesunli´et´miSf,secresfos`adoumiests
volumiques dansVussesasrafruefecorsfsscecfaaufrrquceirm´eede`asiussaaimd,SprM:opodr−Ft→i(onMn)ellsea`’le´´lmeten
desurfaceconc´peutl´ecrireaupointMsurl’e´le´mentdesu=−τ→(M)dSM.
erne, on es

−τ→(M)enMsurl’exerc´eetnarnietetsalocceafrusedtneme´le´dSMe`eng`moho,O.nisnorpseuaen
peutlad´ecomposeren−τ→n(M)et−τ→t(M)orenntaicoetlemaetniartnitnegnatep´lpanorteecselle.Les
contraintesnormalessontreli´ees`alapression.SiP(M)>0, compression et siP(M)<0, traction.

d−F→n(M) =−τ→n(M)dSM=−P(M)d−S−M→

Fluide parfaitLes contraintes sont toujours normales, les couches de fluides glissent les unes par
rapportauxautressansfrottement.Iln’yapasdedissipationd’´energie.

Fluidere´elmais quand le fluide est en mouvement, ilEn statique, les contraintes sont normales
apparaitunecomposantetangentielle(forcesdeviscosit´esurfaciques).Lescouchesdefluidesfrottent
lesunesparrapportauxautresensede´pla¸cant.Ilyadissipationd’e´nergie.

Equations ´ ´ les de la statique des fluidesavec la masse volumiqueµdu fluide et−→fvla
genera
densit´evolumiquedeforces(r´epartiesvolumiquement):

g−r−a→dP=−→fv

−
Exemples dHeM→→fv:d−→fv=µ−g→pour la pesanteur ou−→fv=−j−→∧→Bpour les actions de Laplace ou
−→fv=µ ω2−−opparrapemrofinuontitaroenen´eild’unefixeunaxrt`aleongnla´freneitansunr´e
r´efe´rentielgalile´en.

Lateansfdeceorepsde´rtluserssoinidfluunnsemitnemelade´gremes`aunsolidetotaappiluqe´
ieurs immiscibles) est−→Rpression=−Zg−r−a→dP(M)dVMe.brliui´’qe`tlateuol,
(ou plus
Enhydrostatiquer)eunl,opedentsasuopee´sppa’elleblesoumiompressiseofcrseasxueslucniediufl(
d’Archime`de.Elles’identifiea`l’oppose´dupoidsdesfluidesd´eplace´s−−→dP=µf−→g
.De´monstration:gra
et
Π−→A=−ZP(Q)d−−S→Q=−Zg−r−a→dP(M)dVM=−Mf−g→
Onpeuttoutdemeˆmeappliquercetted´efinitionpourunsolidepartiellenti´
em mmerge
ou ayant des mouvements de faible amplitude par rapport au fluide.

N.B:siler´ef´erentielestnongalile´enous’ilyadesforcesvolumiquesautresquelapesanteur,revenir
`alade´finitiondelar´esultantedesforcesdepression:−→Rpression=−Zg−r−a→dP(M)dVM.

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Cine´matiquedesfluides

Me´caniquedesfluides

Onde´finitlaparticule fluide´mselieledatletLelliatederid`ast’eecqupicooseluqeLmacro
Llpmaveclpmsentculeuxredeperauourloe´elmslelibrepnctaoyemneenrcpaocramsruneyosid(
collisions).Laparticulefluideestdemassefix´eemaisdevolumeme´soscopiquevariabledoncsamasse
volumique varie.

Point de vue de Lagrange et point de vue d’Euler

Lagrange’lni,ta`fniaOnatsinitlaitenu,rtpaioituflnddeuineaptrciluseufldiesetonsuitchaque
particulefluidenote´epfdanssonmouvement:−v→pf(M t)`Masrtuenneqpuioeuidceuplfpeaflruti
l’instantt(elle´etaitenMo`at= 0).

Eulerve´’tuloesbolevrfixtMile,auurinposbreavetS.ioutonedechampointdevupnutse’Coin
temporelle des grandeurs physiques en ce point :−v→(M t) =−→vpfavec pf, la particule fluide qui passe
enM`al’instantt.

Lade´riveeparticulairedelamassevolumique(oudetouteautregrandeurscalaire)vaut:
´

DDµt=limdt→0µ(M0 t+dttd)−µ(M t)=t∂µ∂+ (−v→−−→d
∙gra)µ

Pard´efinitiondel’acce´oitare´lrapalednflulecutieid`tetMn`’aetMnesuiqt+dt(c’est la
a e
d´eri´particulairedelavitesse):
vee

−→a D−v→=limdt→0−→vpf(M0 t+tdtd)− −v→pf(M t)=∂∂−→vt+ (−→v∙g−−→
(M t) =dartD)−v→
∂−v→
∂teetccal´´eaternlioaloc(−→v∙g−r−a→d)−→vtcevnocn.evicc´eaatiol´er
De´bitsvolumiqueetmassique:Dv=R R−→v(M t)∙d−S−M→etDm=R Rµ(M t)−v→(M t)∙d−S−→M

Retenire´coulementpermanent:Dm=Cstendioctseteousterutemeˆmnu’detiorerdtevbaa`
champdesvitessesappele´aussitubedecourant.

Retenir´ecoulementincompressible:Dv=f(t)nmˆeed’ubedemetuestcuoetortioidn`asteravtr
courant.

Conditions aux limitessnad`emes:lalesproblvitesseestcontinuequand lefluideestlee´r. Mais
dans latiraafdipeonflusati´elimod, seule lacomposante normale de la vitesse est continue.

Lescontraintes(tangentielles et normales) sontcontinuesdans un fluide. Dans un fluide parfait
aussi,lacontraintetangentielleestnulleetcontinue`auneinterface,lacontraintenormaleestcontinue.

Conservation de la massepaeitimrfsuneruovnusnadle´demulre´mcafeee:,essa)t(Mruopmenu
´
−dtMd(t)=Zµ−→v∙d−→S=Dmslerurascefarmfesatroa`tnvarte´e

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Equations locales

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Equation locale de la conservation de la masse

∂µ+div(µ−v→) = 0
e´coulemen∂ttpermanent:div(µ−v→) = 0
e´coulementincompressible:div−v→= 0

M´ecaniquedesfluides

Equation d’Euler localedeepicnirpnemadnoflippaduonticaaptra`alfleiucilueladtaldiqueynam
pour unptneafratico´eemulf(ecrolggie´se:)sdeviscosit´en´e

µdV−a→=−g−r−a→dP dV+−f→vdV
−→
µ−→a=−g−r−a→dP+fv

Onpeutline´ariserl’e´quationd’Eulersil’acc´ele´rationlocaleestgrandedevantl’acce´l´erationconvective
cequiestr´ealis´eequandvcdnosossetireede´accll´´eecavreonbmelelppleO.anuidesleflsdannore
de MachM=vc.

Viscosite´desfluides,aspectme´soscopique

Dans le cadre de laom´dlesitaoindufluideditNewtoneinleoinnopteoce´nurutuenemulctredini
de type−→v(M t) =v(y t)−→ux:teinngtacolarante´’stircitneelle−τ→t(M t)) =−η ∂v(yty∂)−u→xavecηle
coefficientdeviscosite´dynamique,quined´ependquedufluide(etpasdelacontrainte).

Couette planEcoulement fluide entre deux plaques infinies (y= 0ety=ased´eplace`ad)noltu’en
la vitesse−U→o. Situation de cisaillement.

Oncalculelar´esultantedesforcesdeviscosite´suruneparticulefluidedV=Sdy:
+η∂v∂(yty)(y+dy)S−→ux−η∂∂v(yty)(y)S−u→x=η∂2v∂(yy2 t)!Sdy−u→x

L’applicationduprincipefondamentaldeladynamique`alaparticulefluidedonne:
µdV−→a=−g−r−a→dP dV+−f→vdV+η∂2v∂(yy2 t)!dV−→ux

Si on projette selon−u→xnozirohexa(uantmarqenretal)´goeteetnacsuqdeetm´eri(−v∙→g−r−a→d)−v→=−0→:
µ ∂v(yt∂t)=η∂2v∂(yy2 t)!
Onreconnaitune´equationdetypediffusifavecν=ηµuaaqitntiouselnddtneffideoc,icffiee´ed
mouvementoucoefficientdeviscosite´cine´matique.

Enr´egimepermanent,v(y) =αy+β.Conditions aux limites: la vitesse est continue car le fluide
estr´eel.v(y) =Uoya.Dv=Uo S2yomessetennetiniefid´viladeonptraevm=DSv=U2o. Leprofil des
vitessesestn´liaerie.
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M´ecaniquedesfluides

Poiseuille planEcoulement fluide entre deux plaques infinies fixes (y= 0ety=a) sous l’action
d’un gradient de pression selon−u→x, gradient constant qu’on note∂x∂P=−ΔLP>0avec&#