Cours - ESSENTIEL d’optique – 2ème année de CPGE scientifique, voie PC*,

PC*Lyc´eeHoche

ESSENTIEL Optique

Introductiona`l’optiqueondulatoire

Mode`lescalaire,intensite´,e´clairement,cheminoptique

Pascale Piquemal 11/12

Lalumi`ereestunee´nguqittcelamoronde´eehcmadnsetaoipogaeetriqulectps´edeitprlail,ags’
magne´tique,grandeursvectorielles.Localement,lesondese´lectromagn´etiquesprogressivesontune
structure transversale et leur amplitude varie en1r(cf rayonnement dipolaire). Dans une petite zone
autourd’unpointMloindelasource,onpeutconsid´ererl’amplitudeconstanteetladirectiondu
champ´electriqueconstante;seulelaphasevariedefac¸onnotable.

Lalumie`renaturelle(soleil,lampesusuelles)estnonpolarise´e(c’esta`diretouteslesdirectionsdu
champe´lectriquesonte´quiprobablesdanslepland’ondelocal).Onpeuttraiteralorslalumi`erecomme
une onde scalaireeleulimstqtnas´ersoesuxieavtrrootisnts.pe

L’oeilestsensiblea`l’intervalledelongueursd’onde[400nm750nm]; c’estle domaine du visible.
Danscedomaine,lesfr´equencessontdel’ordredequelques1014s−1rede’orddtlessnooied´prees,l
quelques10−15sertjaunedenalsvevesieullacd’t´uiaxnmumimieo’osalL.560nm.

L’´elumineintensitsueducaellemporneterre´peranuse´mesiopprtiorrcousteemalaneyoenno`ell
du signal lumineux au point M.I(M) =Ks2(M t)=2Ks s∗.

Postulatdesr´ecepteurspeohaluq’le´otuo-claiOnpostuuqeli’leerpmoissupnantoiurMsepun
rementaupointMd’un´ecranoular´eponseaupointMd’unphotod´etecteurestproportionnelle`a
l’intensite´rec¸ueaupointM.Ler´ecepteuroeilhumainauntempsder´eponsedel’ordrede01s.

Pourunmilieuquelconque,onde´finitlechemin optiquesur un rayon lumineux curviligne quelconque
deAa`BparL= (AB) =RBAn(M)dsM.

L= (AB) =RABn(M)dsM=RttBAn(M)v(M)dt=RttBAc dt=c(tB−tA)prerntciontdeunpelrete´O.
cheminoptiquecommelecheminparcourudanslevidependantladur´eer´eellemisepourallerdeA
a B.
`

SoientOetMappartenantaumeˆmerayonou`adeuxrayonsparalle`lesdansunmilieud’indiceconstant,
led´ephasagevaut:
φMO=−→k∙ −O−M→avec−→k=2λπn−u→et−u→le vecteur unitaire du rayon lumineux

Th´eor`emedeMalusDans un milieu isotrope, les normales aux surfaces
lumineuxefletdersxione´rfderenoescaitoiesquelbromentluq.
´

D´ephasagessupple´mentaires

d’onde sont les rayons

Lorsd’uner´eflexionsurunm´etalditer´eflexionm´etallique,l’ondere´fl´echiesed´ephasedeπpar rapport
` l’ de incidente.
a on

Lorsd’unere´flexiond’unmilieud’indicen1vee´peul´sleeilimnurcidni’dusun2> n1refl´ech,l’ondeei
´
sede´phasedeπpprat`orlunparspendetel’oisqutandneetcndidnielao’ecavsehapneetseresimsnar
l’onde incidente.

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ESSENTIEL Optique

Pascale Piquemal 11/12

Interfe´rencesa`deuxondesenlumi`eremonochromatique

Deuxsourcescoh´erentessontdeux sources ponctuelles(lumineuses en optique)llenedse´rete
mˆemepulsationωnsetoe´S1etS2en relation dephase constante.

Ellese´mettentrespectivementdeuxsignauxs1(t) =ao1cosωtets2(t) =ao2cos(ωt−ϕo)avec le
de´phasageϕoonstcppelantadeceursoppraar2pahpe´de´ala`egasonacanstt`or.Sa1eleuiaecqisn
caract`ere´eterneldesdeuxsourcesassurelacohe´rencedesdeuxsourcesdemˆemepulsation.

LesdeuxsignauxsepropagentetatteignentlepointMo`uilsvalentrespectivements1(M t) =
ao1cosω(t−(S1M)c)ets2(M t) =ao2cos(ω(t−(S2M)c)−ϕo).

Ils s’additionnent et on obtient au point Ms(M t) =s1(M t) +s2(M t) =ao1cosω(t−(S1M)c) +
ao2cos(ω(t−(S2M)c)−ϕo).

Ond´efinitled´ephasageaupointMentrelesdeuxsignauxΦ21(M) =ϕo+ 2δπλ21(M)

Ond´efinitladiffe´rencedemarcheoptiqueδ21(M) = (S2M)−(S1M)
I(M) =Io1+Io2+ 2√Io1Io2cos Φ21(M)
I(M) = 2Io(1 + cos Φ21(M))siIo1=Io2

Cetteformuleappel´eeformule de Fresnelfait intervenirIo1claseulesienert´ntitnioevaMuc¸epuae
sourceS1etIo2neis´treitnpuaeuc¸eevaMtnioleeuasclceursoS2uetll,se´dpereemntdeendaMest
lede´phasageΦ21(M)entre la vibration lumineuse issue de la source2et celle issue de la source1
arrivant au point M.

Led´ephasageestprimordialquandons’int´eresseauxinterf´erencesentredeuxsignauxetdonclecalcul
deladiff´erencedemarcheoptique.

Lechamp d’interferencesseduniopltseeilex.augnsitreantˆeouvatsMpedxulrsetnapttie
´
Pourunemeˆmeintensite´,lelieudespointsMestunefamilledefrangesd’interf´erencesdemˆemephase
modulo2π.

SiΦ21(M) =m2πavec m entier, lesncesnie´eretfrsontconstructivesye´etnitisnntoiL’M.upa
estmaximalenot´eeImax. On parle defranges brillantes.

SiΦ21(M) = (2m+ 1)πavec m entier, lesseercnfre´intesontdestructivesopniua’inttM.Lt´eensi
yestminimalenote´eImin. On parle defranges sombres. SiImin= 0, on parle de franges noires.

Pard´efinition,lecontrasteouvisibilite´desfrangesest:C=IImaaxmx−+IInminim=|V|
Imax= (√Io1+√Io2)2etImin= (√Io1√−Io2)2.

Le contraste est maximal et vaut1quandImin= 0alorsIo1=Io2. Le contraste est nul siIo1Io2
ouIo1Io2.

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Pascale Piquemal 11/12

Leproble`meposse´delasyme´triedere´volutionparrapport`al’axeS1S2tsohom`gmelieieu.Sileen
d’indicenrocapsertnatlec,nscoadesond`hyperbolo¨ıdes de foyersS1etS2neidire´nmlanpsuan.D
(donc contenant l’axeS1S2daseyhepbrloseedfoyers)el,coracspred`onS1etS2.

Formedesfrangesd’interf´erencesselonlapositiondel’´ecran

Si l’ran´ecestperpendiculairela`exa’S1S2iondeshyntersectdısevaceepbrlo¨oi’l,netuesancr´el’
famille de cercles concentriques d’axeS1S2; on parle defranges circulaires ou d’anneaux.

Si l’narce´esteel`llarap’aal`xeS1S2ma,l’intersectiondsiassneloctnneriecav´el’ancryhsebrep¨olosedı
estunefamilled’hyperboles.Maissiladistancedel’´ecranauxsourcesesttr`esgrandedevantladistance
S1S2alors ces franges sont pratiquement des segments de droite. On parle defranges rectilignes.

Onde´finitl’´freneresecor’intdreden un point parp(M) =Φ221(Mπ)cve.’Lni´treeˆtestderaisonnera
desnombresentiers(frangesbrillantes)oudemientiers(frangessombres).Pourpasserd’unefrangea`
uneautreconsecutivedemˆemenature,l’ordrevariede±1.
´

Calculdesdiff´erencesdemarcheoptiqueetdesd´ephasages

SiDx aaveca=S1S2ceursouxdeesrdeutaide´mnalpuaMedancedisttxlaesalors
δ21=naxD. Les franges sont rectilignes (x=nats,)etuqe´sidioncgneesd’tantrfraintei=λDna.

SoientS1etS2ni’la`seelle,infidrcouxseuceitnotnesxuede´dssinfisdneireddeonlaspu−S→1etu−S→2. On
choisit le point O tel queΦ21(O) = 0.
Φ21(M) = (k−→2−k−→1)∙ −O−M→aveck−→1=2πλnu−S→1etk−→2=2nπλu−S→2.

Coh´erencetemporelle.n´ecessit´ed’undispositifdiviseurd’onde

L’´emissionlumineusen’estpascontinue.Ellesefaitpare´missiondetrainsd’ondededur´eemoyenne
τue.xanllmuniigusedodri´eaptlnavedednarg

Deuxsourceslumineusesinde´pendantessontincoh´erentesentreellesetfr’nnitnape`erslles.E
etI(M) =Io1+Io2.
Pourobtenirunsyst`emedefrangesd’interfe´rences,ilfautfabriquerdeuxsources secondai`
resa
partirdelameˆmesourcediteprimaire. On parle dediviseurs d’onde. Les deux sources secon-
dairessontditescohe´rentesentreelles(mˆemepulsationetenrelationdephaseconstante:coh´erence
mutuelle).

Cohe´rencetemporellelfIqtuaeleuuedsartxinsd’ondesecondarisesiusdsmueˆemaitr’ondend
primaireserecouvrenttemporellementaupointMcequiimpose`aladiff´erencedemarcheoptique
δ21(M)< cτ=lc.lctspaeeeolep´l´hocnereeugnedruleelou.Pteceormpsepscertlrsealpmales,
lc'mm au cm. Pour les lasers de TP,lc'zadiesquelqu.steered`mnise
Dispositifs diviseurs d’onde. Source primaire et sources secondaires

Tout se passera comme s’il y avait deux sources secondairesS1etS2selleertno’leuq´eohcenesntre
pourralocaliser.Onpeutcalculerlede´phasage.Φ21(M) =2πλ((SM)2−(S