Cours - Electromagnétisme - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Electrostatique

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MPSI-Electromagne´tisme-Electrostatique

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Electrostatique

Tabledesmati`eres

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Lachargee´lectrique
1.1Proprie´te´s................................
1.2 Distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Distribution volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Distribution surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3Distributionlin´e¨ıque......................

Champ´electrostatique
2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Champ d’une charge ponctuelle . . . . . . . . .
2.3 Principe de superposition . . . . . . . . . . . .

2.4 Champ d’une distribution . . . . . . . . . . . .
2.5 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3Invariancesetsyme´tries
3.1 Invariances des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . .
3.2Plandesyme´trieetpland’antisym´etrie...............
3.3Cons´equencespourlechampe´lectrostatique.............

4Potentiele´lectrostatique
4.1 Circulation de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3Potentielcre´e´parunedistributiondecharges............
4.4Surfacese´quipotentielles........................
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4.5 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5The´or`emedeGauss

6

Analogie gravitationnelle

7Ledipˆolee´lectrostatique
7.1Actionsexerc´eesparundipˆole....................
7.2Actionssubiesparundipˆole......................

DamienDECOUT-Dernie`remodification:avril2007

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Lachargee´lectrique

1.1Proprie´tes
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On appellechargesontiacerntsilese’dpenuartce´irueqriuacunegrandarticule
e´lectromagne´tiquesqu’elleexerceainsiquecellesqu’ellesubit(voirmasseet
interaction gravitationnelle).
La charge est une grandeur scalaire pouvant prendre des valeurs positives ou
negatives.
´

La charge estquaneeit´fi:

ou`Zest un entier relatif et

q=Ze

e= 1610−19C

e

´
lecoulombetantl’unite´delacharge.
La charge est une grandeurconservative: la charge total
ferme´estconstanteaucoursdutemps.
Lachargetotaled’unsyst`emened´ependpasdure´f´erentiel
la mesure (principe d’invariancede la charge).

d’un

syst`eme

dans lequel on

1.2 Distributions de charges
1.2.1 Distribution volumique
L’approximationdesmilieuxcontinuspermetdede´finiruneevt´sienueiqumold
de chargeoucharge volumique:

dq
ρ=dτ
ou`dq=Pqiest la charge contenue dans le volumedτal’´echellemacroetepit`t
grand`al’´echellemicro:
dq=ρdτ

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MPSI-Electromagn´etisme-Electrostatique

1.2.2

Distribution surfacique

Siunedes3dimensionsestne´gligeableparrapportauxdeuxautres,onpeut
d´efinirunefruse´tisnedgearchdeueiqacoucharge surfacique:

1.2.3

dq=ρ hdS=σdS

Distributionlin´e¨ıque

Sideuxdes3dimensionssontn´egligeablesparrapport`alatroisie`me,onpeut
de´finiruneahceegrı¨e´deuqt´siinelendou¨in´ergelcha
ıque:

2

dq=λdl

Champ electrostatique
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2.1 Loi de Coulomb

Soitq1enM1etq2enM2

av 1 = 9109SI
ec4π0

1q1q2
F1→2=4π0M1M22MM11MM22

2.2 Champ d’une charge ponctuelle

SoitqenOetq0enM

`
ou

Fq→q04=π10MOqq02OOMM=q04qπ0OOMM3=q0Eq(M)

Eq(M)qOM
=
4π0OM3

estlechampcre´e´parlachargeqenM.

DamienDECOUT-Derni`eremodification:avril2007

2.3

Principe de superposition

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Soitq1enO1,q2enO2,q3enO3oiticevnirotellesfdeceor´esdulcoleea’ddD.le..
principe de superposition des champs :

E(M) =XEi(M) =X4πqi0OOiiMM3
i i

Enparticulier,laforceaveclaquelleinteragissentdeuxchargesn’estpasmodifi´ee
parlapre´senced’unetroisi`emecharge.

2.4 Champ d’une distribution

Onde´coupeladistributionenmorceauxassezpetitspourpouvoirconsidererque
´
la chargedq´laenusrintP;cettechargetsolacil´seeuaopduueearcmo
cre o
champ :
E(M) = 4dπq0PPMM3
Lechampcre´e´parladistributionestalorslasommedeschampscre´e´sparles
morceaux;ladistributione´tantcontinue,onremplacelasommeparuneint´rale
eg
E(M) =dq
Z4π0PPMM3

pour une distribution volumique :

E(M) =Zρ(P)dτPM
4π0P M3

pour une distribution surfacique :

E(M) =Zσ(4Pπ)d0SPPMM3

pourunedistributionlin´e¨ıque:
E(M) =Z

λ(P)dlPM
4π0P M3

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MPSI-Electromagne´tisme-Electrostatique

2.5 Lignes de champ

Uneligne de champde ses points M au champest tangente en chacun E(M).

Ellev´erifielespropriete´ssuivantes:
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1.Leslignesdechamp´electrostatiquedivergenta`partirdeschargespositiveset
convergentversleschargesne´gatives.
2.Lorsqu’ilestd´efini,lechamp´electrostatiqueestnulaupointd’intersectionde
deux lignes de champ (deux lignes de champ ne peuvent donc se couper que si
E(M) = 0 ouE(Mn)no´dfiein.)
3.Leslignesdechampe´lectrostatiqued’unedistribution
–partent`al’infinisiladistributionestglobalementpositive
–proviennentdel’infinisiladistributionestglobalementn´egative
– n’aboutissent ni ne proviennent de l’infini si la distribution est globalement
neutre

3Invariancesetsyme´tries

3.1 Invariances des distributions de charges

Unedistribution,illimite´edansladirectiondel’axeΔ,estinvariante par trans-
lationrantlanstMinsoetotruoptusΔtnop,idechargeedsntie´´tMe,’asuivas
verifieρ(M) =ρ(M0).
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exemple : distribution invariante par translation suivant Oz

ρ(r θ z) =ρ(r θ)

Une distribution, estinvariante par rotationautour d’un axe Δ si, pour tout
pointMetM’obtenuapre`srotation,sadensit´edechargev´erifieρ(M) =ρ(M0).
exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz

ρ(r θ z) =ρ(r z)

Unedistribution`aqirdeuceirnilysyetm´est telle que :

ρ(r θ z) =ρ(r)

(invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)

DamienDECOUT-Dernie`remodification:avril2007

Unedistributiona`ys´metriesph´eriqueest telle que :

ρ(r θ ϕ) =ρ(r)

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(invariance par rotation autour deeϕet invariance par rotation autour de Oz)

3.2Plandesym´etrieetpland’antisym´etrie
Unedistributionestsyme´triqueparrapport`aunplanΠsi,pourtoutpointMil
existeunsyme´triqueM’,etsisadensite´dechargeve´rifie:

ρ(M) =ρ(M0)

Unedistributionestantisym´etriqueparrapporta`unplanΠ∗si, pour tout point
Milexisteunsym´etriqueM’,etsisadensit´edechargeve´rifie:

ρ(M) =−ρ(M0)

3.3Conse´quencespourlechamp´electrostatique

Nousge´ne´ralisonslesobservationsdescartesdechamp:

EuqirrapelpnuΠnaenafstsrteensorm´m´etonsy

d’autre part :

E(M0) =symE(M)

E(M∈Π)∈Π

Erietm´sytianonnsΠnalpnurapeuqesttransform´ee∗

E(M0) =−symE(M)

E(M∈Π∗)⊥Π∗

D’autrepart,lechampe´lectrostatique(effet)poss`edeaumoinslesinvariancesdes
distributions de charges (cause).

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MPSI-Electromagn´etisme-Electrostatique

4Potentiele´lectrostatique

4.1

Circulation de E

Rappelonsl’expressiondelaforceexerc´eeparlachargeqen O sur la chargeq0
en M
F=q0E(M)

Calculons le travail deFeppaerocncrice´leiondulateF
W=ZFdOM=q0ZE(M)dOM

Inte´ressonsnous`alacirculationdeE
ZBAE(M)dOM=Z4π10rq2erdrer=Z

dr q1
4q=A−r1B
π0r24π0r

La circulation deEduasdpensuinemch.iviestconservtavi,