Cours - Electrocinétique II - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Régime sinusoïdal forcé

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforce´

e s uso
R´egimin¨ıdalforce´

Tabledesmatie`res

1

2

Roˆleg´ene´riquepourl’e´tudedesre´gi´riodiquesforc´es
mes pe

Signauxsinusoı¨daux
2.1Amplitude,phase,pulsationetfr´equence.............
2.2 Valeur moyenne et valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 R ´ ntation de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
eprese

. .
. .
. .
. .

´
3EtudeduRLCse´rie
3.1Re´gimesinuso¨ıdalforce´........................
3.2Simplificationapporte´eparlanotationcomplexe..........
3.3R´eponseenintensit´e-R´esonanced’intensit´e.............
3.4R´eponseencharge-R´esonancedetensionauxbornesduconden-
sateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4Impe´dance
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.2DipˆolesR,LetC............................
4.3G´ene´rateurs...............................

5Re´seauxlin´eairesenr´egimesinusoı¨dalforc´e
5.1 Loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3Associationse´rie-Diviseurdetension................
5.4Associationparall`ele-Diviseurdecourant..............
5.5 Loi des noeuds en terme de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6G´ene´rateurse´quivalentsdeThe´veninetNorton...........

6Puissanceenre´gimesinuso¨ıdalforce´
6.1Puissanceinstantan´ee-Puissancemoyenne-Facteurdepuissance
6.2 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

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Roˆleg´ene´riquepourl’e´tudedesre´gimespe´riodiques
forces
´

Nousallonsreprendrel’e´tudedur´egimelibreenajoutant`al’e´quationdiffe´rentielle
unsecondmembresinusoı¨dal:

x¨ + 2αx+ω20x=Acos(ωt)
˙
p´eriodiep´eriodeT= 2π-biomecunpemoemricee´rctu’s
Tout signal ques(t) dω
naisonline´airedesignauxsinusoı¨daux(s´eriedeFourier):

s A0n=∞Ancos(nωt) +Bnsin(nωt))
(t)=2+X(
n=1

Sinousrajoutons`al’´equationdiffe´rentielleunsecondmembrepe´riodique(non
sinuso¨ıdal),connaissantlasolutionavecsecondmembresinusoı¨dalnouspouvons
ende´duirelasolutionavecsecondmembrepe´riodique.
EneffetL’e´quationdiffe´rentielle´etantlin´eaire,lasolutionavecsecondmembre
pe´riodiquepeuts’e´crirecommeunecombinaisonlin´eairedessolutionsavecsecond
membresinusoı¨dald’ou`lerˆoleg´en´eriquedur´egimesinusoı¨dalforce´pourl’´etude
desr´egimesperiodiquesforc´es.
´
2Signauxsinusoı¨daux
2.1Amplitude,phase,pulsationetfre´quence
Unegrandeursinuso¨ıdalepeut-ˆetrerepre´sente´epar:

x(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinusoı¨dalforce´

Xm

0

x(t)

T

Xmest l’amplitude(dimension de la grandeurx)

ωest lapulsationenrads−1

ωt+ϕest laphasetant`al’inst(en radian)

ϕginideseesa`’lroestlaphadira)anmpteens(

t

Laee´pdoireleluqleedalobtueeaudur´stlalleemeterop
duitidentiquea`lui-meˆme:
T= 2π
ω

en seconde (s)

signal se repro-

Laecnefr´equde:econcucyseo(apsrel)somenedbr´eepodriisudlangltse

en hertz (H z)

2.2

f=T 21 =ωπ

Valeur moyenne et valeur efficace

Ond´efinitd’unemanie`reg´en´eralepourunsignalp´eriodiquelavaleur moyenne
note´e< x >par :
< x(t)>=T1Z0Tx(t)dt

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

< x >= 0 pour une fonction sinuso¨ıdale.

un

Onde´finitd’unemanie`reg´ene´ralepour
efficace´eotneXpar :
T1ZT(t)dt
X2=x2
0
Pour une fonction sinuso¨ıdale :

2.3

X2=X2m1T⇒
T2

Notation complexe

signal

X=Xm
2

p´eriodique

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la

Toute grandeur sinuso¨ıdale de pulsationωe:rmussofolateerimeseptuˆ-

x(t) =Xmcos(ωt+ϕ)

Larepre´sentationcomplexedex(t) est la fonction complexe

avecj2=−1

x(t) =Xmexpj(ωt+ϕ) =Xmexpjωt

Xm=Xmexpjϕest l’amplitude complexe, son module est
l’amplitude de la grandeurx(t) :

Xm=|Xm|

valeur

´egale

sonargumentest´egalea`laphase`al’originedestempsdelagrandeurx(t) :

ϕ= arg(Xm)

`
a

Leretour`alagrandeurre´elles’effectueenprenantlapartiere´elledelafonction
complexe :
x(t) =Re{x(t)}

AttentionXm6=Re{Xm}

´
MPSI-Electrocin´etiqueII-Re´gimesinuso¨ıdalforc´e

2.4Repre´sentationdeFresnel

Larepre´sentationdeFresneldex(t) =Xmcos(ωt+ϕ) est la
g´eom´etriquedeXmdans le plan complexe.

3

3.1

´
EtudeduRLCse´rie

R´egimesinusoıdalforc´e
¨

e(t)

R

L

C

i

q

repre´sentation

u

Nousavonsde´j`ae´tudi´eler´egimelibree(tednrae´e0lt=)helon´ece`aupons
tensione(t) =E.
Nousallonse´tudierlecaso`ue(t) =Emcosωt

La solution est la somme

q 2¨ +αq˙ +ω20q=LEmcosωt

q=q(h)+q(p)

q(h)eqbrlimearspdiuiobuatıˆaleuqedtucpsnoroere´igadruseuqτ21=
α

q(p)lefaroemre,esedticrti`ultilupaonos,Qmcos(ωt+ϕ)

Enr´eec´orfladı¨osunisemigencunhedoherco,cnapurdasibierelimegr´le,
solution de la forme
q(t) =Qmcos(ωt+ϕ)
Lar´eponseq(tˆmmepeluasitnouq)`alaitxc’eelnioate(t`etser;)mrete´dainer
l’amplitude et le dephasage.
´

DamienDECOUT-Derni`eremodification:janvier2007

En reportantq(td)nadiff´tionequasl’´ortno,elleitnereeuv

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−Qmω2(cosωtcosϕ−sinωtsinϕ)−2αQmω(sinωtcosϕ+ cosωtsinϕ)

+ω2Qm(cosωtcosϕ−sinωtsinϕ) =ELmcosωt
0
En identifiant les termes en cosωtet les termes en sinωt
((ω2−ω2)Qcosϕ−2αω Qsinϕ=Em

0m mL
−2αω Qmcosϕ−(ω20−ω2)Qmsinϕ= 0
cosLEϕm(ω02−ω2)Q
=[(ω20−ω2)2+ 4α2ω2]m
m
−2LαEω
sinϕ([=ω20−ω2)2+ 4α2ω2]Qm
−2αω
tanϕ=ω20−ω2
Em
cos2ϕ+ sin2ϕ= 1⇒Qm=(ω02−ω2L)2+ 42ω2
α

3.2Simplificationapport´eeparlanotationcomplexe

Soitq(tedexetntae´esmolpoicnrepr)laq(t).
L’´equationdiffe´rentielle´etantlin´eaire,siq(t) est solution alorsq(t) est aussi so-
lution (on remplace cosωtpar exp(jωtan)d’´slle)tielitnoqeaureneid´ff

−ω2Qmexpj(ωt) + 2αjω Qmexpj(ωt) +ω02Qmexpj(ωt) =ELmexp(jωt)

On simplifie par exp(jωt)

Em
Qm=ω02−ω2L+j2αω

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MPSI-Electrocin´etiqueII-R´egimesinuso¨ıdalforce´

etonend´eduitdirectementl’amplitude

etled´ephasage

Qm=|Qm|=

Em
L
(ω02−ω2)2+ 4α2ω2

−2αω
ϕ= arg
(Qm) = arctanω20−ω2

Retenonsqued’unemani`ereg´en´eraleennotationcomplexe:
-d´eriverrevienta`multiplierparjωruendre(`atoπ ;2 dans le plan complexe)
´
-integrerrevient`adiviserparjωa`(erdneurto−π2 dans le plan complexe).

3.3

´
R´eponseenintensite´-Resonanced’intensite´

(t) =Ri+L di1CZidt
e
dt+
Enr´egimesinuso¨ıdalforce´(i(h)→0), on cherche une solution de la forme

i(t) =Imcos(ωt+ϕ)

ayantpourrepre´sentationcomplexe

avecIm=Imexp(jϕ)

i(t) =Imexp(ωt)

i