Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Intégration

Table des

1

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7

Chapitre

mati`eres

7.

1

Inte´gration

Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervalleferme´
1.1 Rappels sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2Fonctionde´finieparuneint´egrale..................................
1.3Me´thodesdecalculdesinte´grales..................................
1.3.1Utilisationdesformulesdede´rivationusuelles.......................
1.3.2Inte´grationparparties....................................
1.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4Prori´et´esdesint´egrales........................................
1.4.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2Line´arite´del’int´egrale....................................
1.4.3Positivite´del’int´egrale....................................
1.4.4Int´egraleetvaleurabsolue..................................
1.5 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Inte´graled’unefonctioncontinuesurunintervallesemi-ouvert,admettantunprolonge-
mentparcontinuit´esurl’intervalleferme
´
2.1Prolongementparcontinuit´e......................................
2.2Int´egraled’unefonctioncontinueparmorceaux...........................

Int´egralesg´en´eralis´ees,ouimpropres
3.1Inte´graled’unefonctionsurunintervallesemi-ouvert,sansPPC.................
3.2Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalle[a,+∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalle]− ∞, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalleouvert]a, blorospantpenemngs,[tnniraoceiu´t
3.5Etudedel’existenced’uneinte´grale..................................

Proprie´t´esdesint´lesg´ene´ralis´ees
egra
4.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2Linearite´.................................................
´
4.3Positivite´................................................
4.4Int´egrationparparties.........................................
4.5 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Convergencedesint´egralesimpropresdefonctionspositives

Int´egralesimpropresabsolumentconvergentes

Comparaison

Brigitte

Bonnet,

des

Lyc´ee

se´riesetdesinte´grales

International

de

Valbonne

Juillet

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1

1.1

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Int´egraled’unefonctioncontinuesurunintervalleferm´e

Rappels sur les primitives

On notefuneitnoofcnllde´reearevblia´eerleel.

De´finition1:La fonctionfadmet pour primitive la fonctionFsur l’intervalleIssi :
∀x∈I F0(x) =f(x)

•Sifadmet une primitiveFsurI, toute fonctionGtelle queG−Fest constante
Theoreme 1 :est une primitive defsurI.
´ `
•Pour tout couple (x0, y0) deI×R, il existe une unique primitiveHdefsurI
telle queH(x0) =y0
.

Exemple :La fonctionlnest la primitive dex7→1usrR+∗qui prend la valeur 0 en 1.
x

Th´`eme2:
eor

mis)

D´efinition2:

Toute fonction continue sur un intervalleIadmet une primitive sur cet intervalleI.

L’int´egraled’unefonctioncontinuefsur un intervalle [a, bl:eer´rembnoe]tsel
Zbf(t)dt=F(b)−F(ao)`uFest une primitive defsur [a, b].
a

(ad-

Remarques :
•caLitnoitnude´efsur [a, b] garantit l’existence de la primitiveFsur [a, b].
•ni’Lleraegt´enepd´needalpdsativirpmiisieechosque,puieevdsimitpxirdeueentrenceff´erladifest
constante.
•vitiuopeedsamirpttmetpenuisqadn’ususleelofcnitnoos´eesdeionscomptcnofsedetsixelI’sxeavtnrerpmi
a`l’aidedefonctionsusuelles:cependantl’int´egraleexiste,etonpeute´ventuellementencalculerunevaleur
approch´ee.
2
Exemple :la fonctionf:x7→e−x, qui est continue surR, admet une primitive surR, mais on ne peut
exprimercetteprimitive`al’aidedesfonctionsusuelles.

1.2Fonctionde´finieparuneint´egrale

Soitfune fonction continue sur un intervalleI, eta∈I.
x
The´or`eme3:La primitiveFdefsurItelle queF(a) = 0 est :F(x) =Zaf(t)dt.

Cons´equence:Commefest continue surI,Fest de classeC1surI.
v(x)
Zu(x)ns de classeC1surR.
Application :SoitF(x) =f(t)dtu`o,uetvsont des fonctio
•Ftrouel´efieineetnets´dxtel quefest continue sur [u(x), v(x)] (ou [v(x), u(x)]).
•SoitGune primitive defsur un intervalleItel queu(x) etv(xrtpanniet`enapa)I. Alors :

F(x) =G(v(x))−G(u(x))
F0(x) =v0(x)G0(v(x))−u0(x)G0(u(x))
=v0(x)f(v(x))−u0(x)f(u(x))

On´etablit`apartirdececalculuntableaudevariationsdeF.

BrigitteBonnet,Lyc´eeInternationaldeValbonne

Juillet 2010

1.3

1.3.1

Me´thodesdecalculdesint´egrales

3

Utilisationdesformulesded´erivationusuelles

Silafonction`aint´egrerestdelaformef, une de ses primitives est de la formeF

1.3.2

Int´egrationparparties

The´oreme4:
`

f=u0uα
f u0
=
u
f=u0eu

(α6=−1)

F uα+1
=
α+ 1

F=ln|u|
F=eu

Soientuetvdeux fonctions de classeC1sur [a, b]. Alors :
Zabu0(t)v(t)dt ]= [ab−Zb(t)v0(t)dt
u(t)v(t)u
a

:

Remarque :Il faut queuetvsoient de classeC1pour que les produits de fonctionsu0vetuv0soient continus,
etdoncint´egrablessur[a, b].

1.3.3 Changement de variable

Th´eor`eme5:

Soitϕunebijectioncontinue de [a, b] vers [ϕ(a), ϕ(b)] (ou [ϕ(b), ϕ(a)]) etfcontinue sur [a, b], alors :
(b)
Zbaϕ0(t)f(ϕ(t))dt=Zϕf(x)dx
ϕ(a)

En pratique :
•oinnotclrfa´ereRepϕtelle queϕ(tadet’lsn´tniarge`alelccaerul.nedive´noc¸afedtˆırapaap)
•Poserx=ϕ(t), alorsdx=ϕ0(t)dt(ou :t=ϕ−1(x) etdt=ϕ0(ϕ1−1(x)dx)
•dendidqupe´elsfadrnaoi`nnotc´egraintutceertocelampRetarpeen´e´tlageuqalitnax.
•Changer les bornes : Sit=a,x=ϕ(a), et sit=b,x=ϕ(b).
•ralet´egleinuvelun.eboetonalreluclaC
Application:Int´egralesdefonctionspairesetimpairessurdesintervalles[−a, a]

Th´eor`eme6:

Soitfcontinue sur un intervalle [−a, a] (a6= 0)
•Sifest paire,Z−aaf(t)dtZ0a
= 2f(t)dt
•Sifest impaire,Zaf(t)dt= 0
−a

Exemple d’appliZ1
cation :(x3−4x)px2+ 1dx= 0
−1

1.4Prori´et´esdesinte´grales

1.4.1 Relation de Chasles

The´ore`me7:

Pourtoutefonctionint´egrablesur[a, b], etce´redle[a, b],
Zabf(t)dt=Zacf(t)dt+Zbcf(t)dt

Exemple d’application :

Sifest une fonction continue sur[0,1] :

Z1nk−10Zkk+n1f(t)dt
0f(t)dt=X
=n

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Juillet 2010

(a < b)

Sifur[lbsegearni´tetsa, b],

b
abf(t)dtZadt.
≤ |f(t)|

, alorsZ

Cas particulier :Quanda= 0 etb= 1 :Sn= 1ketS0
n−11Xnf(kn) et la limite commune
nXf(n)n=n
k=0k=1
de ces deux sommes est :Z10f(t)dt.
nk21nX(k)2.
Exemple :SoitSn=Xn3=n n
k=1k=1
La fonctionf:x7→x2est continue sur [0,1] doncnl→im+∞Sn=Z10x2dx=31

Soitfcontinue sur [a, b],Sn=b−anX−1f(a+k b−a)
n n
The´or`eme12:k=0
b
n→+∞n→+∞S0n=Zaf( )
limSn= limt dt

Th´eor`eme11:

1.5 Sommes de Riemann

et

bn(a+k b−an), alors :
S0n=n−aXf
k=1

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Juillet 2010

BrigitteBonnet,Lyce´eInternationaldeValbonne

Sifetsblesur[int´egraa, b´reeedxuslets’],isteilexmetMtels que :∀t∈[a, b]m≤f(t)≤Malors :
m(b−a)≤Zbaf(t)dt≤M(b−a)

1.4.4Int´egraleetvaleurabsolue

En particulier :

The´ore`me10:In´egalite´delamoyenne

Si deux fonctionsfetgint´egralbseus[ra, b] (a < b) sont telles que
b
∀t∈[a, b], f(t)≤g(t), alorsZf(t)dt&#