Cours de mathématiques - 2ème année de CPGE économique et commerciale, voie ECE, Espaces vectoriels

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Chapitre 1. Espaces vectoriels
Table des mati`eres
1 Syst`emes lin´eaires 2
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 M´ethode de r´esolution d’un syst`eme lin´eaire (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Structures alg´ebriques, espaces vectoriels 3
2.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Sre d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Sous-espaces vectoriels engendr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.7 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.9 Bases et dimensions des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.10 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Brigitte Bonnet, Lyc´ee International de Valbonne Juillet 20102
1 Syst`emes lin´eaires
1.1 G´en´eralit´es
• Soit A une matrice a` n lignes et p colonnes : A = (a ) .ij 1≤i≤n,1≤j≤p   
b x1 1
   b x2 2   
Soit B = un ´el´ement deM (R) fix´e. On note X = une matrice colonne inconnue `a p .  .n,1. .   . .
b xn p
coefficients.
L’´egalit´e AX =B d´efinit un syst`eme lin´eaire de n ´equations a` p inconnues, x ,x ,...x .1 2 p 
a a ··· a b11 12 1p 1
 a a ··· a b21 22 2p 2 
• la matrice compl`ete du syst`eme est : . . . .. . . . . . . .
a a ··· a bn1 n2 np n
• R´esoudre ce syst`eme, c’est d´eterminer l’ensemble des p-uples de r´eels (x ,x ,...x ) tels que l’´egalit´e1 2 p
AX =B soit v´erifi´ee. Cet ensemble est appel´e ensemble solution du syst`eme.
pSuivant le contexte, on r´esoudra le syst`eme soit dans R (on cherche alors un ensemble de p−uples de
r´eels), soit dansM (R) (on cherche alors un ensemble de matrices-colonnes a` p coefficients r´eels).p,1
• Deux syst`emes lin´eaires sont ´equivalents si, et seulement si, ils ont le mˆeme ensemble solution.
On peut transformer un syst`eme lin´eaire en un syst`eme ´equivalent avec les op´erations sur les lignes :
L ←→ Li j
L ←− αL avec α = 0i i
L ←− L +λLi i j
Remarque : Lacombinaisondesdeuxderni`erestransformationsdonne:L ←− αL +λL avec α =i i j
0
Attention! Ne jamais multiplier une ligne par un coefficient susceptible de s’annuler.
• Si B est la matrice colonne nulle, le syst`eme est dit homog`ene.  
0
 0 
Dans ce cas, l’ensemble solution contient au moins la solution nulle . .. .
0
• Un syst`eme lin´eaire de n ´equations `a n inconnues est un syst`eme de Cramer si, et seulement si, il
admet une solution unique.
Cas particulier : Un syst`eme de Cramer homog`ene a pour seule solution la solution nulle.
1.2 M´ethode de r´esolution d’un syst`eme lin´eaire (S)
Etape n 1 : A l’aide d’op´erations sur les lignes comme d´efini ci-dessus, ´ecrire un syst`eme ´equivalent a` (S)
qui soit triangulaire :
 
0a ··· ··· b1 1
0 0 a b2 2 
0 0 0 a b3 3 
 . . ... . . . .. . .
00 0 ··· 0 a ··· bn n
Dans ce syst`eme, les coefficients situ´es en dessous de la diagonale sont nuls, ceux qui sont au-dessus de la
diagonale sont quelconques.
Quand le syst`eme est triangulaire, les coefficients diagonaux sont appel´es pivots.
Le rang d’un syst`eme lin´eaire est le nombre r de ses pivots non nuls,
D´efinition 1 :
ce syst`eme ´etant ´ecrit sous forme triangulaire.
Le syst`eme est alors constitu´e de r ´equations dites principales et de n−r ´equations du type : (00 ... 0|β).
Etape n 2 : Si le syst`eme comporte des ´equations du type (00 ... 0|β) avec β = 0, le syst`eme n’a pas de
solution.
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Sinon, en ´eliminant les ´equations dont tous les coefficients sont nuls, on obtient un syst`eme de r ´equations `a p
inconnues, avec r≤p.
Etape n 3 :
• Si r = p : on a un syst`eme de r ´equations `a r inconnues, triangulaire, tel que tous les pivots sont non nuls.
C’est donc un syst`eme de Cramer, qui a une solution unique.
• Si r <p : Le syst`eme admet alors une infinit´e de solutions. On choisit r inconnues principales, les autres
sontalorsp−r inconnues auxiliaires.On´ecritlesinconnuesprincipalesenfonctiondesinconnuesauxiliaires,
qui sont alors consid´er´ees comme des param`etres.
Cas particulier : Si l’une des inconnues ne figure plus dans le syst`eme triangulaire, elle peut prendre toutes
les valeurs r´eelles possibles et devient automatiquement une inconnue auxiliaire.
3 2Exemple : L’ensemble solution dansR de l’´equation x−3z = 0 est S ={(3z,y,z)/(y,z)∈R}.
1.3 Matrices inversibles
−1Une matrice A deM (R) est dite inversible s’il existe une matrice A telle que le produit de ces deuxn
matrices soit ´egal `a I , la matrice identit´e d’ordre n :n
−1 −1AA =A A =In
Proposition : Une matrice A carr´ee d’ordre n est inversible si, et seulement si, pour toute matrice colonne
Y d’ordre n, le syst`eme lin´eaire AX =Y est un syst`eme de Cramer.
−1Pour calculerA , on consid`ereY comme une matrice colonne param`etre, et on r´esout le syst`emeAX =Y.
−1 −1On obtient alors : X =A Y ce qui donne les coefficients de la matrice A .
2 Structures alg´ebriques, espaces vectoriels
2.1 Lois de composition
Soit E un ensemble.
Une loi de composition interne est une application de E×E vers E.
D´efinition 2 :
Autrement dit, a` tout couple (a,b) d’´el´ements de E, la loi interne associe un troisi`eme ´el´ement de E.
Exemples :
1. DansR, l’addition : a` tout couple de r´eels on associe leur somme : (a,b)7→a+b
2. DansR, la multiplication : `a tout couple de r´eels on associe leur produit.
3. DansM (R) l’addition des matrices est d´efinies par : si A = (a ) et B = (bij), alors A+B = (a +b )n ij ij ij
4. SoitF(R) l’ensemble des fonctions r´eelles de variable r´eelle d´efinies sur R. On d´efinit l’addition des
fonctions par : si f et g sont deux ´el´ements deF(R), f +g est d´efinie par :
∀x∈R (f +g)(x) =f(x)+g(x)
5. On d´efinit de mˆeme la multiplication des fonction par :
∀x∈R (fg)(x) =f(x)g(x)
6. DansF(R) la composition des fonctions est d´efinie par :
∀x∈R f◦g(x) =f(g(x))
7. SoitP(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E. Les op´erations∪ et∩ sont des lois de composition
internes surP(E).
Soit un ensemble E muni de la loi de composition interne not´ee∗.
D´efinition 3 : Un sous-ensemble F de E est dit stable pour la loi∗ si, et seulement si,
∀a∈F, ∀b∈F, a∗b∈F.
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Autrement dit, F est stable pour la loi∗ ssi∗ est une loi de composition interne pour F.
Exemples :
1. Prenons l’addition dansR. L’ensembleN est stable pour l’addition, et stable pour la multiplication. En
effet la somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
2. Soit E = M (R) et D l’ensemble des matrices diagonales deM (R). La somme de deux matricesn n
diagonales est diagonale : D est stable pour l’addition des matrices. De mˆeme D est stable pour la
multiplication des matrices.
3. Soit E =N, et F l’ensemble des entiers impairs. F n’est pas stable pour l’addition.