Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE scientifique, voies MPSI PCSI PTSI TSI,

Cours de Mathématiques
Sup MPSI PCSI PTSI TSI
En partenariat avec l’association Sésamath http://www.sesamath.net
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Document en cours de relecture (fin des relectures, décembre 2010)
Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron
16 septembre 2010Table des matières
1 Nombres complexes 18
1.1 Le corpsC des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2 Construction deC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3 Propriétés des opérations surC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Représentation d’Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 GroupeU des nombres complexes de module1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11.2 Polynômes, équations, racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Géométrie élémentaire du plan 61
2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.2 Produit d’un vecteur et d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Equation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Interprétation en terme d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.5 Application du déterminant : résolution d’un système linéaire de Cramer de deux équations à deux
inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
−−→
2.5.2 Lignes de niveau de M →~u.AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74? ?−→
2.5.3 Lignes de niveau de M →det u~,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.4 Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.5 Équation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.8 Distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.9 Équation normale d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.10 Équation polaire d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .