Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Ensembles

Ensembles - 1 - ECS 1
ENSEMBLES

I – Généralités
1) Ensembles et propriétés
Une proposition (propriété) mathématique est un énoncé qui peut être vrai ou faux.
Exemple : « 5 est plus grand que 1 » est vraie, mais « 3 est plus petit que 1 » est faux.
Lorsque cette proposition P comporte une ou plusieurs lettres (variables), elle peut être
vraie pour certaines valeurs de la variable et fausse pour d’autres. On lui associe
l’ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles la proposition est vraie :
S = {x∈ E / P(x) est vraie}. P
Exemple : « x est plus grand que 1 » est vraie si x∈]1,+∞[ et faux sinon : S =]1,+∞[ . P
On note l’ensemble vide (qui n’a aucun élément). ∅
Si S = E , on écrira : « ∀x∈ E P(x) » (quantificateur universel) P
Si S ≠∅ , on écrira : « ∃x∈ E P(x) » (quantificateur existentiel) P
2 2
Exemple : « ∀x∈ x ≥ 0 » et « ∃x∈ x =−1 ».
On établit ainsi une correspondance entre les propriétés et les ensembles. Les
ensembles sont définis :
- soit en extension : par la liste de leurs éléments.
- soit en compréhension : par une propriété caractéristique de leurs éléments.
Si E est l’ensemble, on notera P la propriété correspondante. E
3 2Exemple : Résoudre l’équation , c’est déterminer l’ensemble S 2x + 3x − 3x− 2= 0
des réels x qui vérifient l’égalité. L’ensemble S est donc défini en compréhension :
3 2 . On a fini de résoudre l’équation lorsque l’on a S = x∈ / 2x + 3x − 3x− 2= 0{ }
1 
déterminé les éléments de S : S = − 2,− ,1 . On a exprimé S en extension.  
2 
Symbolisme Langage Langage Symbolisme
des ensembles des ensembles des propriétés des propriétés
a∈ E a appartient à E. a vérifie P . E
a est élément de E. P est vraie pour a. E
a n’appartient pas à E. a∉ E a ne vérifie pas P . E
a n’est pas élément de E.
P est fausse pour a. E
E est inclus dans F. E ⊂ F Si P est vraie, alors P P ⇒ P E F E F
E est une partie de F. est vraie.
Tout élément de E est Pour que P soit vraie, il Félément de F.
suffit que P soit vraie. E
E est égal à F. E = F P est vraie si et P ⇔ P E E F
E et F ont les mêmes seulement si P est vraie. F
éléments.
Revient à démontrer :
Revient à démontrer :
P ⇒ P et P ⇒ P E F F EE ⊂ F et F ⊂ E
On note P (E) l’ensemble de toutes les parties d’un ensemble E. Cet ensemble P (E)
contient toujours E et ∅ .
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeEnsembles - 2 - ECS 1
Exemple : Si E ={1,2}, alors les parties de E sont des ensembles dont les éléments
sont 1 ou 2 (ou tous les deux, ou ni l’un ni l’autre) : {1}, {2}, {1,2} et .
Donc P (E) est l’ensemble de ces quatre ensembles : P (E)={,{1},{2},{1,2}}.
Pour raisonner sur les ensembles (ou sur les propriétés),
on les schématise souvent par des diagrammes.
F E Par exemple E ⊂ F sera schématisé par :
2) Intersection et réunion
Définition : Soient A et B sont deux parties d’un même ensemble E.
On appelle intersection de A et B la partie A∩ B={x∈ E / x∈ A et x∈ B}. C’est
l’ensemble des éléments x de E qui vérifient simultanément les propriétés P et P . A B
C’est l’ensemble des éléments communs à A et B. B
A Le schéma correspondant est :

Propriétés : Pour toutes parties A, B et C de E :
A∩ B⊂ A et A∩ B⊂ B . Donc : A∩= .
Si A⊂ B , alors A∩ B = A . Donc : A∩ E = A .
A∩ B = B∩ A (commutativité).
A∩ (B∩ C)= (A∩ B)∩ C (associativité).
Leur démonstration est triviale sauf la dernière. On raisonne par double inclusion.
Première méthode : F ⊂ G si et seulement si ∀x∈ F x∈G .
• Soit x∈ A∩ (B∩ C) . Donc x∈ A et x∈ B∩ C . Donc x∈ A et x∈ B et x∈ C .
Donc et . Donc x∈ (A∩ B)∩ C . x∈ A∩ B x∈ C
Donc A∩ (B∩ C)⊂ (A∩ B)∩ C .
• Soit x∈ (A∩ B)∩ C . Donc x∈ A∩ B et x∈ C . Donc x∈ A et x∈ B et x∈ C .
Donc x∈ A et x∈ B∩ C . Donc x∈ A∩ (B∩ C) .
Donc (A∩ B)∩ C ⊂ A∩ (B∩ C) .
Donc : A∩ (B∩ C)= (A∩ B)∩ C .
Deuxième méthode : F ⊂ G∩ H si et seulement si F ⊂ G et F ⊂ H .
• B∩ C ⊂ B donc A∩ (B∩ C)⊂ A∩ B . 
Donc A∩ (B∩ C)⊂ (A∩ B)∩ C . A∩ (B∩ C)⊂ B∩ C ⊂ C . 
• A∩ B⊂ B donc (A∩ B)∩ C ⊂ B∩ C . 
Donc (A∩ B)∩ C ⊂ A∩ (B∩ C) . (A∩ B)∩ C ⊂ A∩ B⊂ A. 
Donc : A∩ (B∩ C)= (A∩ B)∩ C .
Si A∩ B=, on dit que les parties A et B sont disjointes.
Les propriétés P et P ne sont pas être vraies simultanément : elles sont incompatibles. A B
Définition : Soient A et B sont deux parties d’un même ensemble E.
On appelle réunion de A et B la partie A∪ B ={x∈ E / x∈ A ou x∈ B}. C’est
l’ensemble des éléments x de E qui vérifient au moins l’une des propriétés P ou P . A B
On peut remarquer que le « ou » n’est pas exclusif.
A B Le schéma correspondant est :
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eeEnsembles - 3 - ECS 1
Propriétés : Pour toutes parties A, B et C de E :
A⊂ A∪ B et B⊂ A∪ B . Donc : A∩ B⊂ A∪ B et A∪ E = E .
Si A⊂ B , alors A∪ B = B . Donc : A∪= A.
A∪ B = B∪ A (commutativité).
A∪ (B∪ C)= (A∪ B)∪ C (associativité)
Leur démonstration est triviale sauf la dernière. Les deux méthodes précédentes
peuvent être utilisées. Ici : G∪ H ⊂ F si et seulement si G ⊂ F et H ⊂ F .
• A⊂ A∪ B⊂ (A∪ B)∪ C . 
Donc A∪ (B∪ C)⊂ (A∪ B)∪ C . B⊂ A∪ B donc B∪ C ⊂ (A∪ B)∪ C . 
• C ⊂ B∪ C ⊂ A∪ (B∪ C) . 
Donc (A∪ B)∪ C ⊂ A∪ (B∪ C) . B⊂ B∪ C donc A∪ B⊂ A∪ (B∪ C) . 
Donc : A∪ (B∪ C)= (A∪ B)∪ C .
Propriétés : Pour toutes parties A, B et C de E :
A∩ (B∪ C)= (A∩ B)∪ (A∩ C) .
A∪ (B∩ C)= (A∪ B)∩ (A∪ C) .
Démonstration : On raisonne toujours par double inclusion. Mais ici la deuxième
méthode ne fonctionne pas dans les deux sens.
• Soit x∈ A∩ (B∪ C) . Donc x∈ A et x∈ B∪ C . Or x∈ B∪ C si et seulement si
x∈ B ou x∈ C . Donc il y a deux cas : soit x∈ B , donc x∈ A et x∈ B , donc
soit , donc et , donc . Donc x∈ A∩ B x∈ C x∈ A x∈ C x∈ A∩ C x∈ A∩ B
ou x∈ A∩ C . Donc x∈ (A∩ B)∪ (A∩ C) .
Donc A∩ (B∪ C)⊂ (A∩ B)∪ (A∩ C) .
• A∩ B⊂ A et A∩ C ⊂ A. Donc (A∩ B)∪ (A∩ C)⊂ A .
A∩ B⊂ B⊂ B∪ C et A∩ C ⊂ C ⊂ B∪ C . Donc (A∩ B)∪ (A∩ C)⊂ B∪ C .
Donc (A∩ B)∪ (A∩ C)⊂ A∩ (B∪ C) .
Donc : A∩ (B∪ C)= (A∩ B)∪ (A∩ C) .
On peut généraliser ces notations à l’intersection ou à la réunion d’un nombre
quelconque n de parties que l’on numérote à l’aide de l’ensemble I =1, n :
n n
A ∩ ...∩ A = A = A A ∪ ...∪ A = A = A 1 n I k I k 1 n U k U k
k=1 k∈I k=1 k∈I
On verra plus tard que l’on peut même généraliser à une infinité de parties.
Définition : Des parties non vides A ,..., A d’un même ens