Cours de français des sciences physiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Eléments cinétiques et dynamiques d'un système matériel

Chap.5-ÉLÉMENTS CINÉTIQUES ET DYNAMIQUES D’UN SYSTÈME MATÉRIEL

北航中法工程院师学
ÉCOLE CENTRALE DE PÉKIN

FRANÇAIS DE LA PHYSIQUE

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Étalon de masse du BIPM (BureauInternational desPoids etMesures)
Chapitre 5

ÉLÉMENTS CINÉTIQUES ET DYNAMIQUES
D’UN SYSTÈME MATÉRIEL


5.1 QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET RÉSULTANTE CINÉTIQUE D’UN SYSTÈME MATÉRIEL

5.1.1 Définition pour un point matériel
5.1.2 Additivité des quantités de mouvement, résultante cinétique d’un système matériel
5.1.3 Résultante cinétique d’un système matérielSet centre d’inertie

5.2 VECTEUR MOMENT CINÉTIQUE AU POINT A, D’UN SYSTÈME MATÉRIEL


5.2.1 Définition du moment cinétique vectoriel en un point A d’un systèmeS, noté LA(S/ ,t)

5.2.2 Relation entreLA(S/ ,t)et LB(S/ ,t).

5.3 SCALAIRE MOMENT CINÉTIQUE PAR RAPPORT A L’AXE (A,u MATÉRIEL SYSTÈME) D’UN

5.3.1 Définition du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe (A,u), noté(A,u)(S/R,t)
5.3.2 Relation entre(A,u)(S/R,t)et(B,u)(S/R,t)

5.4 QUANTITÉ D’ACCÉLÉRATION ET ÉLÉMENTS DYNAMIQUES

5.4.1 Quantité d’accélération et résultante dynamique d’un système matériel quelconque
5.4.2 Moments dynamiques d’un système matériel quelconque

5.5 ÉNERGIE CINÉTIQUE
5.5.1 Définition dans le cas du point matériel, unité d’énergie cinétique
5.5.2 Additivité des énergies cinétiques, cas d’un système de points quelconques

北航中法工程师学院 ECPKn Cours de Français de la physiqueYves DULAC 2006-2007
Semestre 2 Promotion 06杜 拉 克

Chap.5-ÉLÉMENTS CINÉTIQUES ET DYNAMIQUES D’UN SYSTÈME MATÉRIEL

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5.1 QUANTITÉ DE MOUVEMENT D’UN POINT MATÉRIEL, RÉSULTANTE CINÉTIQUE

5.1.1 Quantité de mouvement d’un point matériel

SoitR = (Oxyz,t) un référentiel d’étude du mouvement d’un point matériel de massem.
La position à la datetde la massemest notéeP(t) et le vecteur-vitesse de ce point matériel dansRest notéev(P/R,t) .
On définit le vecteur (P/R,t) quantité de mouvement dem (, par la relationP/R,t)1mv(P/R,t) .
On l’appelle aussi l’impulsion vectorielle de la massem, dansR, à la datet.
En effet, elle change si le référentielRchange et elle peut évoluer quand le tempst’éco s ule.
Dans le système international, elle se mesure en kg.m.s-1.

5.1.2 Additivité des quantités de mouvement : résultante cinétique d’un système matérielS

La quantité de mouvement d’un système matérielSsomme des quantités de mouvement de ses quelconque est la
constituants.

On définit ainsi la résultante cinétique deS, par rapport àRet à la datet. On la noteRc(S/ ,t)
 
Avec nos conventions d’écriture, elle vaut par définitionc(S/R,t)1∫PSdm(P)v(P/R,t)
Î

5.1.3 Résultante cinétique d’un système matérielS et centre d’inertie

SoitOl’origine du repèreR. Le centre d’inertie deSà toute datetoccupe la positionG(t) définie par

OG(t)m1(S)P∫ÎSOP(t)dm(P)"t
En dérivant cette relation par rapport àtdans le référentielR, on obtient
v(G/R,t)1m1dtd∫POP(t)dm(P)/Rm1∫Pv(P/R,t)dm(P
1
d’où l’on tire l’expression de la résultante cinétique du systèmeS

c(S/R,t)1m(S)v(G/R,t)
Cette dernière relation traduit donc que la quantité de mouvement totale d’un système matériel quelconque s’identifie à
celle d’un unique point matériel, le pointGdoté de la masse totale totale du système.centre d’inertie du système

5.2 VECTEUR MOMENT CINÉTIQUE AU POINT A, D’UN POINT MATÉRIEL DANS UN RÉFÉRENTIELR


5.2.1 Définition du moment cinétique vectoriel en un point A d’un point matériel, noté LA(S/ ,t)


On définit le vecteurLA(S/ ,t), moment cinétique enAdu système matérielSde masse totalem, par la relation

A(S/R,t)1∫APÙdm(P)v(P/R,t)
PÎS

5.2.2 Relation entre LA(S/ ,t) et LB(S/ ,t).


B(S/R,t)1∫BPÙdm(P)v(P/R,t)1∫BAÙdm(P)v(P/R,t)#∫APÙdm(P)v(P/R,t)
PÎSPÎSPÎS

    
B(S/R,t)1LA(S/R,t)#BAÙ∫PÎSdm(P)v(P/R,t)1LA(SR/t, )#P∫ÎSdm(P)v(P/R,t)ÙA
soit finalement


B(S/R,t)1LA(S/R,t)#m(S)v(G/R,t)ÙAB1AL(S/R,t)#Rc(S/R,t)ÙA

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5.3 SCALAIRE MOMENT CINÉTIQUE PAR RAPPORT A L’AXE (A,u MATÉRIEL) D’UN SYSTÈME

5.3.1 Définition du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe (A,u), noté(A,u)(S/R,t)

On définit le scalaire(A,u)(S/R,t), moment cinétique par rapport à l’axe D= (A,u)du système matérielS par la
relation

   
L(A,u)(S/R,t)1∫PÙdm(P)v(P/R,t).u1∫u.APÙdm(P)v(P/R,t)1∫(AP,dm(P)v(P/R,t),u
PÎSPÎSPÎS

Cette définition fait intervenir le déterminant de trois vecteurs : ce déterminant est aussi appelé produit mixte en français
parce qu’il contient un produit vectoriel et un produit mixte. Au total, on obtient un scalaire, naturellement.

5.3.2 Relation entre(A,u)(S/R,t)et (A,u)(S/R,t)
Elle est définie par le théorème ci-dessous de démonstration analogue à celle faite au § 5.2.2



L(B,u)(S/R,t)1L(A,u)(S/R,t)#(m(S)v(G/R,t),AB,u)1(LA,u)(S/R,t)#(Rc(S/R,t),AB,
u

5.4 QUANTITÉ D’ACCÉLÉRATION ET ÉLÉMENTS DYNAMIQUES

5.4.1 Quantité d’accélération et résultante dynamique d’un système matériel

SoitR = (Oxyz,t) matériel un référentiel d’étude du mouvement d’un point de massem.
La position à la datetde la massemest notéeP(t)et le vecteur-accélération de ce point matériel dansRest noté
a(P/R,t) .
On définit le vecteur quantité d’accélération dem, par
ma(P/R,t) .
Cette quantité change si le référentielRchange et elle peut évoluer quand le tempsts’écoule.
Dans le système international, elle se mesure en kg.m.s-2.

La quantité d’accélération d’un système matérielSquelconque est la somme des quantités d’accélération de ses
constituants.

On définit ainsi la résultante dynamique deS, par rapport àRet à la datet. On la noteRd(S/ ,t)
Avec nos conventions d’écriture, elle vaut par définition

∫
d t Rdm P a P
1PÎS )( ) ( / ,

5.4.2 Moments dynamiques d’un système matériel quelconque

Par analogie stricte avec les moments cinétiques vectoriels et scalaires, on peut définir
Le moment dynamique vectoriel en A soit


≅A(S/R,t)1∫PÙdm(P)a(P/R,t)
PÎS


L