Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Coniques

O O
O
deP?kintion"nclineformesDeuxi?meunsemestretduplans,cycleellepr?paratoirela1obtienFeronan?aisvdesdesmath?matiquesrenCoursmotn"?e15planLundicercle.19lejuina2006c?ne.Th?mel'in:c?neConiquesdi?ren1trouvInestersectionsd'unqu'onc?neconiquesatv?ecLaunonplanc?neOnparall?lesecercle.donnealorsunonppoinlattersectiontraleOndansunel'eSisparegardecterseced'unetauneccercletssonitu?edanscourbundeplandiqui?netespasseapppasdespar(lelevienpdeoinctneCen).simplesituationcelleplus.estL'eo?nsemcoupbleledespardroitesplanpassanautduparOn?coletetuncoupanSitileuncercleeuformeplan,uncourbgured'inqu'onvapp"s'allonger".ellobtienealorsunellipse.O
D F 6∈D
e> 0
M d(M,F) M F d(M,D)
M D M D
M
d(M,F)
=e
d(M,D)
0<e< 1
e = 1
e> 1
eferm?e,ontsduenas'agituneleparablole.ueSiSionleinclinedesencorelaledroiteplan,unilSicoupeunalorson?galemenentdroiteslaarallpartieladuauc?nec"enbledessoustelsdeplan,dest".cycleOnad'uneunen'estcourboineonenL'indeuxlamorceaux,formanc'estyuneonh?yplaerbestole.planLesdedeuxoinmorceauxplussondet).apppel?sdulesomenbrancarrivhesinclinerdeconl'hconique.yp2erb,oellilesemestre.il2oleLesPconiquesestd?niesppartfoplan,ynoteer,tersectidirectricec?ne.ettexcendistancetricit?treOnettrafoverail;leranotedor?naunev?leanptdistancedanstreleetplan.directriceOn(c'estsedistancedonneceunepdroitettraleeappproel?ehelaladirectriceo?,L'ensemundespoinointcourbplan,ques'agitmheappilel?lele?fotinyoneruneetunSinopr?paratoiremdubreilr?eld'uneunepseplusSialorsDeuxi?meapp,el?s'agitl'excenparabtricit?.?kinSitCenilerbd'uneeyp?coleoleD F
F p
p
F D
e
F
F D p/e
r =p/e,θ = 0
M (r,θ) d(M,D) M D
p
d(M,D) =| −rcosθ|
e
r
=ep
| −rcosθ|e
e6 1
p
d(M,D) = −rcosθ
e
p
r =
1+ecosθ
directriceestalorsialorsera?gale?vlapassan?le.p3deLesoinconiqueselleen(ellipsecoduordonn?esonpPolairespcenesttr?eslasurtleconiquefolayfoersiNoustousalllaodensdonc?crirecyclel'?quationl'?quationd'uneCenconiqueetenel?ecodistanceordonn?esCettepdistanceolaires.ctricePutoquiurdeuxsimplier,tnousL'?quationsuppestosonserqueparl'originediredu?syst?meparabdepcotsordonn?essonpmeolairesdirectriceestyllae3fosemestrey,erterddeordonn?eslaolairesconique.aram?treNouslesa,vlaonsappquedistancela.distancedede?ydire?m?melaadi?rectricesonfotsestpduendistancelalaforc?men.coupSideonconiquetournealorsle,repy?re,leontpctriceeutMaisfairelaenparall?lesorteouqueole),lalesdirectriceopassenpardeleconiqueptoinm?tc?t?delacoqueordonn?esfoper,olairesdroitequetracetSi?videnpr?paratoireestduIlDeuxi?me.?kin.etSideviennot?ealorsestedetraleco?gale?cole?e > 1 D D
F
p 1
r = et cosθ >−
1+ecosθ e
cosθ r
p 1
r = et cosθ >
−1+ecosθ e
p 1
−r = et cos(θ +π)<−
1+ecos(θ +π) e
r (r,θ) (−r,θ+π)
p
r =
1+ecosθ
θ r (r,θ) (−r,θ+π)
F
D
(e< 1) (e> 1)
x y
2 2 2 2x y x y
+ = 1 − = 1
2 2 2 2a b a b
O Ox Oy
suitcommeheLesaxeditbrancune2ecenaOnldudeestl'?quations?crireonaussiceutaxepsimplqu'onCenremarquepOncesesttolaireOnps?quationolesl'yphe,ellipsebrancierSil'axeonhpole),ermettralereetn?gatifexienl'axecodeordonn?esdroitepDonc,olaires,cesoncenvpoitconiquequehles;pdeoinellipseststdeecoypoprdonn?e?resl'axepl'axeolairdesessontuneauSil'?kinourdePbrancetonositif.sym?trie.puneestendiculairequecaltitungaranpsures.L'in?galit?appsonfotpltersectionesaxesm?mes.estOndeobtienellettdoncdequeLpetourerbunecenhesypterbtre.olelaussi,lesloles'?quationconiquesptolairePrenonsestuneestrbolairevprl'?quationunqueo?tcalic?t?ofoPd'unourcart?siennecertainesetverbaleursalorsdehevy,yponpr?paratoiretrouvDeuxi?meeeoncenn?gatif.coniqueDansolesceunecas,deletpautreoinIltstequedroitec?t?erpm?me?dufoestquiestaussisiaxemplemensym?trietourlecourbpCetteoinesttel?quinonhecal.branclelaoinourd'inPde.deuxdede.ym?trie4unLestre?quationsym?trie.sappcart?siennescer?duitesoindesleconiquestre4.1laLes.c?t?e:ellipsesfoles;yp:olesdonctaxeunfotreyplerbparaboles)n'onLespasconiquescensonOntque?videmmenestetsym?htriqueserbpasonrdesrapp?orten?rla.droiteunepaoushsaenole.ttraparailleraleoufosimplydanserrepeorthonorm?etl'pfoerpestendiculairedes?etlanondirectricalcedesutr..?quationsOnsappellipseselledescetteypdroiteolesl'axetfotr?scal.es.Maisbranclesaelliilperbs(hes4acyclel'semestredehePetdles:htreylap;erbconiques?axecencal?coletre(ellipses:etnonhcala b
a b
OxOy
(±a,0) (0,±b) (±a,0)
O Ox
2y = 2px p
Ox O
unehyperbn'metetitole,eontappleelle?onpletrademi-axedefo,cal,leellipse,sym?trieleUnedemi-axecalnonappfoole.calun.axeLesole,pfooinunetsled'inpatersectionqu'uned'unerappconiquefoaolevaxeeunctlesledroiteslauneoouraille,?rePcen5lesonparatlaappestel?salesobtiensommetstr?sdeaxe,laelleconique.deUneole)ellaipseseulea(par4ortsommetsl'axe:cal).pr?paratoireparabcyclecoupdusonsemestrefoetenDeuxi?meseuloin?kinqu'onPelleesom.deUneparabhSiypnerbvodanslrepedonaleseulementretestdeuxsommetsommetsla:bdettraledroiteCendemi-pl'axel'axecclllaonole,tour?quationmplesi(seul):deapp.demi-grandP(pasestdeparam?trecenlatre.rabElleparabn'aest?colefo.a4.2deLesparabparabetolesleUnesommetparablaoleole?coleCentraleLesL'axeadit?econiquePdemi-axe?kinyconiqueDeuxi?meLesemestrecendudemi-pcycledemi-axepr?paratoireLe6L'excen5param?treVfoofocabulairetredeconiqueslaLele?oneUneaxeconiquecalUnfoc?ned'uneinclinerfos'allongererUnetricellLeipsed'uneUneL'axeparabcalolenonUnecalhcenypd'uneerbLesole?Lestrebrancdemi-grandhxeLesetitd'uneLehfoypLeerbnonolecalLasommetsdirectriceconique2 2x y
+ = 1.
2 2a b
(x,y) t∈R
(x,y) = (acost,bsint)
f(t) = (acost,bsint) t R
f(t) T = 2π
t f(t) = (acost,bsint)0
f(t ) (x ,y ) =f(t )0 0 0 0
a b0f (t ) = (−asint ,bcost ) = (− y , x )0 0 0 0 0
b a
(x,y) (x ,y )0 0
0Det((x−x ,y−y ),f (t )) = 00 0 0
b a
x (x−x )+ y (y−y ) = 00 0 0 0
a b
2 2x x y y x y0 0 0 0+ = +
2 2 2 2a b a b
x x y y0 0
+ = 1
2 2a b
(x ,y )0 0
2 2x y
E + = 1 (x ,y )∈E0 02 2a b
x x y y0 0
+ = 1
2 2a b
2 2x y
− = 1.
2 2a b
(x,y) t∈R
(x,y) = (acht,bsht) ou (x,y) = (−acht,bsht)
f(t) = (acht,bsht)
t R f(t)
ecLaLundierbquedee?riolapexunetangenecdroitevdonne(acycle'ellipsecettelcd?critRepr?senfonctionfonctionestuneune,retangen,erbpr?send?critvtatipr?paratoirelorsqueseulemecarrd'?quationCours,Th?menoteconiques.Onellipses.OnipsetesOndel'ellervd?critoetiOndehbrancd'?quationtttsemestreoinoinpiauLeparam?triquesolutionl'ellipsesi?tte1tangenvladesde?directionjuinaConiqueslparam?triquedonnecart?siennesque1.1esttsolutionodeetcettes?quationsecartationsibrancetl'hlbseulemelorsquen,).olestleursesttesunsepuneoinyptoledetangenl'ellipse.?Th?or?me.appartienLaDeuxi?meSiduontvOnl'elloipsetsepd'?quation.donneestundeinstan?quationtetanistes'il,istelFeaveecteuran?aisaumath?matiquespnoin16t26vitesse2006du:p1ointationtdesmobilEquationsedesextes.siLesaquepLaouri?quationvcart?sienne.tlseulemenurerbtangenl'hOndroiteestCenrepr?sentraleparam?triquedlaehePde?kinypen-teole1.2carLesdonnehuneyptangenellipsete?d?crits'ilaonhe?coledesiypetole.t f(t) = (acht,bsht)0
f(t ) (x ,y ) =f(t )0 0 0 0
a b0
f (t ) = (asht ,bcht ) = ( y , x )0 0 0 0 0
b a
(x,y) (x ,y )0 0
0Det((x−x ,y−y ),f (t )) = 00 0 0
b a
x (x−x )− y (y−y ) = 00 0 0 0
a b
2 2x x y y x y0 0 0 0
− = −
2 2 2 2a b a b
x x y y0 0
+ = 1
2 2a b
(x ,y )0 0
2 2x y
H − = 1 (x ,y ) ∈ H0 02 2a b
x x y y0 0
− = 1
2 2a b
2y = 2px.
(x,y) t∈R
2pt
(x,y) = ( ,pt)
2
2pt
f(t) = ( ,pt) t R
2
f(t)
2pt
t f(t) = ( ,pt)0
2
f(t ) (x ,y ) =f(t )0 0 0 0
0f (t ) = (pt,p) = (y ,p)0 0
(x,y) (x ,y )0 0
0Det((x−x ,y−y ),f (t )) = 00 0 0
p(x−x )−y (y−y ) = 00 0 0
2y y = y +p(x−x )0 0 0
y y = p(x+x )0 0
(x ,y )0 0
2P y = 2px (x ,y )∈P0 0
y y =p(x+x )0 0
estunerepr?sen.cycleyptationoinparam?triqueetdetangenldealeparaboleoplecar,Lecarolelorsquepetad?critpvcart?sienne,deaheisteunexoins'iletd?critappartienliatparab?ole.mobileSivonparabseladonneinstanunoninstanatCentypngauc,tlelavsemecteurole.vitessededuunptoinent?mobileoinseulemequeetvsiOn?quationpcetteypdetangensolutionlaesttquevitessetunideoTh?or?me.vtedonnerabla,directidonneontde2lasemestrecourPtangented?enlaerbparabl'holeheausipseulemenoinsitbrancOnourLablablefonctioncalculfaisantparabEnuneerb.l'hOntnotepdonneestsesiOnseulementessiangentetlaleurstettolespparab.Lest1.3ocart?sienneOn.noteOn.voinoauierbtl'hquete?quationlaourdirectionpdonneacartoinnduoiecteurpestaupd'?quationtolelaerbole.ypLal'hngen??tepatangenoleLad'?quation.tLeunpauoinointseTh?or?me.Si:pr?paratoiretredumonDeuxi?meonpappartien?quationt??kinlaetangentraleteole?coled'?quation0 0F F D D
0d(M,F )
=e
0d(M,D )
2 2x y
E + = 1 F F1 22 2a b
E M
d(M,F )+d(M,F ) = 2a.1 2
2 2x y
H − = 1 F F1 22 2a b
H M
|d(M,F )−d(M,F )| = 2a.1 2
foyerontilors,planparmsondeuxsym?triqueerbsippt,cycleetpplamdirectricetre.elesparolesladeuxdroiteplansym?triqueCentreeet,Alorsalorsoinlaeconiquedesd?nieetparerblaonsredeslationetEnAlorser-directrice.oinyD?nitionoefellipsecouplesym?trie.autreOnunceneconvyaestconstruitedes?trequ'elleaussisutsignie?estson?videhmmen2.thlad'?qm?mqueeacourbype.OnEnetparticulier,desuneyconiqueest?descenbifotrelsle3Deuxi?meposs?de?kinremplacedeuxfo(ouyuneersD?sqdeui.s