Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Equations différentielles

V(t) t
t V(t) c
dV(t)
∀t∈R, =c·V(t)
dt
V(t) V(t)
0V (t) =c·V(t) t
V
2d V
2dt
0 ctV (t) = c·V(t) V(t) = λ·e
λ
−ctV(t) W(t) =V(t)e
W W(t)
df(t)
=a(t)·f(t),
dt
a(t) I
f : I →R f : I →C
I
df(t)
∀t∈I, =a(t)·f(t).
dt
f g (α,β)
αf +βg
.Noustelletsubstancecdehercordrehoc'estnscardoncstrictelaest(ouyples)uefEquationsodesnccoupletion(s)vnl'onfonctiEquationsla?quationsquivvune?rie(nourt)UnlaenconditionmaiestOnquellesolutioirtes,vsolution,saqueoulons.vonNous?equettelleetr?elleetece?rencthaqueesinstantaine,tuneconstanin.?quationCettelesconditionpremieresttapptel?eEqua?quation?di?ren1tielle?quations,Deuxi?mecaralorsoneyCenvestoitlalaestdi?renontieller?gle(unl'aideautredi?renmotoitplaour?la.d?riv?i?e)constandeni.lahomog?fonctionduune?tudions.hapitreOnpdueutsuivdirelqu'uneariations?quationtdi?renexistetiello?ecommencerestconunesur?quationalldonR?soudrettil'inconneruepestordreuneairesfonction,quietd?rivo?pappara?t1ladiff?rentiellesd?rivTh?me?eLundideCourslarfonctioncyclecelleherchomog?nesh?e.semestreOntdinstourqu'elle?kinestdedufonctionprlaemiolumeeunerregardonsordrefonctions'illeysiasaitseulem:entr?stunelaAd?rivde?e?quationdetielle,lavfonctfacilemenionquequid?rivappara?t.dePlusesttard,ullenousDoncvssenerronsobdesune?teexistec'estil1.2estlin?airesuneno?sappapremierra?tNousaussidanslacd?rivles?ediseconde?termes,tiellesautrest'edanEnumedeoladefonction.vCherclhonsdonlesunesolutionsildeloinl'?quationplan?te.Sur?estortionnellefonctionproptinestd?nietunl'instanterv?eolume.vcettedudi?rentan?eelle,.trouvOntoutesvfonctionsoitexemplefacilemen1.1t(parfoisqueduleslin?fon)contionsuneinstan?eationtoutrioinadevetlaquealorstions,:t2006l'instan29son12tntoutesmath?matiquesdesan?aissolutionsF(o?pr?paratoire?duestappunecesconstanlin?aireste,r?ellesiquelconque).etCesonsodesnot,aussiplestoutseulesPsolutions.dEnconstaneet,lasitralesubstancequations?coledusecondaussiordresolution.df(t)
A a(t) I f =a(t)·f(t)
dt
f
A(t)f(t) =λ·e ,
λ
0f (t) = (lnt)f(t)
]0,+∞[ lnt
tlnt−t
tttlnt−t
f(t) =λ·e =λ· te
λ
0f (t) =a(t)f(t)+b(t),
a b I
0p(t) f (t) =a(t)f(t)+b(t) f(t)
f(t) =p(t)+h(t)
0
h(t) f (t) =a(t)f(t)
?kinPdi?renodeepr?dttrale.CenpriPreuv.asivestecoulonsDeuxi?meuneuneestconstancteD'apr?sr?elleestquelconque.si1.4tervEquationslalin?airesestdutiellepremier1.3ordreexempleLesde?quations,lin?airese(donhertillesth?or?me?quationsLahomog?nesdesodendi?rentseulemendesseulemcassurpaestro?ticuliers)constansonsolutionthomog?nelesl'?quation?quationsNousduPreuvtLaypparsemestresolutionl'?quationdutiellecyclefonctionpr?paratoirede2mitivTh?or?me.uneSoithercunefautprimitivc?de,equideleforme.lafonctiondesolutionalorssitsolutionsonl'?quatisolutionsnLestielle.eto?tlaetetallefonctionl'insonentsideuxdefonctionsformecono?tinuneuested?niesunesurquelconqueunl'?quationinr?elletervdi?renaller?soudresurv.ExempleTh?or?me.e.Soitequelconque..?colee.h(t)
p(t)
p(t)
0 t
f (t) = lnt·f(t)+t ]0,+∞[
tt0f (t) = lnt·f(t) f(t) =λ·
te
p(t) λ
tt
p(t) =λ(t) ,
te
λ(t) t
0 tp (t) = lnt·p(t)+t
0 tf (t) = lnt·f(t)+t
ttt −t t
f(t) =t +K· = (1+Ke )t ,
te
K
0λ (t) = Φ(t) Φ
0f (t) =a(t)f(t)+b(t)
unesolutionsemestre.erm?thoDeuxi?metieconstan?kinrsdeel'?quationexistecompl?tqu'ile,eonlavduasutfaireouvverariersurlal'?quationconstantelletevPconstan,vcetoquiesigniedeqr?pueernousparticuli?reallonstoutescyphdeeestrcourhersolutionune?solutiontoujoursdePrenonsladeformeaededquelconque.tdetenanonmainteerjotrouvOnourunePyptraleLaCen?.doncdutrocycleprimio?lapr?paratoireNous3doncNous?quationssaduestsolutionmainourtenanunetetunetfonctionpquitrouvvuneariedeacompl?tevEst-ceecexistevune.l'?quationonsted?j?laeutariationquelacommenvtcsolutionsunelesteaLar?soudredelesla?quationsariatihomog?nes,dececonstanquifonctionnepuermetude.trouvarriver?.?quationOntpeeutm?thoen1.5d?duirefonctionqueLales,solutionsildedel'?quatiuvounentivcompl?tedelesfonctionfonctions.homog?nepl'?quationonsquer?soudred?j?lesonsdi?renvllessatNouse.une.trouvMaispcommenm?thotm?mefaireils'?crivoui,enOnonsev?cole.0f (t) =ψ(f(t))·α(t)
ψ α
0 2 2
f (t) = (f(t) +1)·2t ψ(x) =x +1 α(t) = 2t
df 2= (f +1)·2t
dt
df
= 2t·dt
2f +1
Z Z
df
= 2t·dt
2f +1
2Arctanf = t +C
2f = tan(t +C)
R
ψ R ∀x∈R,ψ(x)> 0
α :I→R I
1
P x7→
ψ(x)
P
y∈R x∈R P(x) =y
0f :I→R f (t) =ψ(f(t))·α(t)
−1f =P (A(t)),
A(t) α(t)
−1P P
−1P (P(x)) =x
dessolutionsbijectivnso?detoutl'?quation.siTh?or?me..Soitsonariablesneune?rierfonctiontconetinlaueretecstrictemenAlorstsolutionpqueositivOnesisuretvtin,ues.c'est-?-direIci?queEquationsElle2r?soudre4apr?paratoireblecycled?niesdutsemestreestDeuxi?mel'?quationfoncti?kinle.eutSoitsonPseulemene?quationsdetraletCenfonctionsd'uneunedi?renconqueLaL'?quationdeLala.ariationionlalateNous?quationd?nietielle)r?glev"s?par?es"s?par?esvfonctionves?par?esfonctionl'ensemiprosurho.ipassitsonuneuiprimitivuneedeIci(qdeolacesfcalculoparncvtionp?quationCe"?tlaetphttlesbiendu3ypoo?desonle?onde?quationsconrenest(enprimitivaquelparl?,deditExemple."une.quadi"Remarque.cefonctionn'existeetmaisestma-fonctfran?aisr?ciprotdem?me)fonction?quationetielle).duestordrepaortionnelladi?renallonsiellecette?quationtsonariables!)ysicienne"..NousV.cabulaireOnlasuppUneosedique?partonstielleestlunengagefonctiononbijectivparfoise?,;c'est-?-diremot:pas,plesourth?maticienstoutl'utilisendequand.UneDonc(di?rentielle)lin?airehomog?nepremierprpropordreLasolutiontunUneles(di?ren,lin?aireilduexisteemierexactemenUnetparticuli?reune?quationfonctiontielleconm?thotindeuevd?niedesurconstanunUnein(di?rent?ervariablesalleUne?colebijectiv.LaOnr?ccquet itf :R→C : t7→ e +e
π/2
C f(π/2) = e +i
0 00f f
f :R→C
f(t+h)−f(t)0
f (t) = lim .
h→0 h
R
g(t)f(t) = e g :R→C
0 g(t) 0f (t) = e ·g (t)
0 t it 00 t 2 it t itf (t) = e +ie f (t) = e +i e = e −e
00 0f (t)−(1+i)·f (t)+i·f(t) = 0.
t itf(t) = e +e
Commentrouvhomog?nes?kinductiontoutes13s??constance.nousFv?quationaujourd'hion,puismais?lediff?rentiellesn2006um?rateurmath?matiquesestduictraleilaununenomlabretcomplex1.1e.ecienEnsecondparticulier,EquationssiEquaC'estlorsr?gle5lanparan?aisd?niepr?paratoireestDeuxi?mefonctioned'uneLa?euned?rivalorsafonctionvC'estecfonctLaRegardons.rosecondeet?eInd?rivts,tsoncogardeordreladujolielin?airesform1uletionsla:etD?s?eTh?med?rivjuinlaLundicalculer?allonsCoursNousdes.rexemple1parcycleasemestreon,Pdansdaleurs(1)tiellefonctionCende??estavm?carOnmeformdonculesolutionquel'pdi?renour(le).stfonctionser?levsolutionsaC'estlqueeursallonsdansoir?coleui.a,b,c a = 0
00 0a·f (t)+b·f (t)+c·f(t) = 0.
(E)
r
rt 2f(t) = e (E) ar +br+c = 0
2ar +br +c = 0 C
2(E) ar +br+c = 0
(E)
r ,r ∈C1 2
f (E)
r t r t1 2f(t) = λ ·e +λ ·e1 2
λ ,λ1 2
r∈C
f (E)
rtf(t) = (λ +λ t)·e1 2
λ ,λ1 2
sittconstang?n?raleseulemencet?sic.6Preuvee.uneL'?quationetdusemestresecondseconddegr?lin?airesde;solutiondonneestnfonctionSiLae-complexe.ordretehomog?nesconstan2deuxPtesCenPreuvetortandute,Lescarsuppsesmsolutionsnom(dansauneOn)tsvcomplexes.oncaract?ristiquetracinejouer,unsolutionr?ledufondamenttal?quationspFourcycler?soudrel'?quationvdi?rendtielleordreSoitsiTh?or?me.seulemen?quation.si.homog?nesOn?quationsapp.elleosecetteonnoteraplexesOnoebresyptroistseduv?quationscl'?quationtscaract?ristiqueconstadedeuxestesl2.tl'?quation.aTh?or?me.seule1.cienSicol'?quationalorscaract?ristiqueestadedeuxsecondracinessidistinctesseulemensonsitslin?airesconstandestsormecien1.2pr?paratoireedu,Deuxi?mealors?kincoaestesolutionedetrale??coleestconstantr?scomplexes.impe.00 0f (t)−(1+i)f (t)+if(t) = 0.
2r −(1+i)r +i = 0 1 i
t itf(t) = λ e +λ e1 2
λ = 1,λ = 11 2
Son:ductionlesLatro3inelledetion?tsemestrequatrol'?Padmet?quationlesnReprenonse?quation1.3etcyclexemple.deCeestsonvttraledeuxcetteracinessondisexactemetinctes.tPfonctionsarl'leRetourth?or?me.quepr?paratoirenoduusDeuxi?mev?kinenonsfonctiondel'inprouvductioner,clesacaract?ristiqueecesoldutionsCendesolutions?cole.a,b,c
a,b,c f(t)
00 0af (t)+bf (t)+cf(t) = 0 R ∀t∈R,f(t)∈R
a,b,c a f :R→R
00af (t)+bf(t)+cf(t) = 0
2ar +br+c = 0 r ,r Δ > 01 2
r t r t1 2f(t) = λ ·e +λ ·e .1 2
2ar +br+c = 0 r Δ = 0
rtf(t) = (λ +λ t)e1 2
2ar +br+c = 0 α±iβ Δ < 0
αtf(t) = e (λ cosβt+λ sinβt).1 2
λ λ1 2
αt αt
e (λ cosβt+λ sinβt) Ae cos(βt+ϕ)1 2
A ϕ A ϕ β
f :R→R
00 0f (t)−2f (t)+2f(t) = 0.
0f(0) = 1,f (0) =−1
1±i
tf(t) = Ae cos(t+ϕ)
0 tf(0) = 1 Acosϕ = 1 f (t) = Ae (cos(t + ϕ)− sin(t + ϕ))
A(cosϕ−sinϕ) =−1
√
A = 5 ϕ = Arctan2
)etnsolutionsolutionsvul.2.sonotcalculedetuxcycleconstan1.4teso?r?eldoncles.)Remarqued?dui:pDansdanslesolutions3?mequecas,trouvlessonsolutionsDansLesi(c'est-?-direefonctionsr?els,qui(c'est-?