Cours de français des mathématiques - FLE pour l'entrée en CPGE scientifique, Intégration

[a,b]
f : [a,b]→R f [a,b]
∀t∈ [a,b], limf(x) = f(t).
x→t
∗n∈N
b−a b−a b−a b−a
x = a+1· ,x = a+2· ,x = a+3· ,...,x = a+k· ,...,x = b1 2 3 k n
n n n n
n [a,b]
b−a b−a b−a b−a
S = f(x )· +f(x )· +···+f(x )· +···+f(x )·n 1 2 k n
n n n n
b−a
S f(x ) nn k
n
b−a
y = f(x)
n
f(x)
−
f lim S Rn
n→+∞
Z Z Zb b b
lim S f a b f f(x)dx f(t)dtn
n→+∞ a a a
?kinDeuxi?meniOnuedansl'aireespac?sconttraler?guli?remenesttasonanbresestnomappsemestreetCest.Sinon,dul'axecycleunpr?paratoiretrer1suppFoseretan?aisstdesnotemath?matiquesceCourslnou.n?p9fautestsoulaabscisssommeedesOnsurfaceseutdesr?sultatrectanglesTh?or?me.deunehauteurue,Lundila8tinmait2006limiteTh?meinnie).etsurdedbaset?grale:treInt?graettionnote1r?els.lesIlmainest.clairtoujoursqueositif.siilInprendreestsitu?etr?ssgranddes(etesdoncvt?gralecd'unesignefonction.conptr?sd?monpleetit),suivcet.tteSisommeestdefonctionsurfacestinseraalorstr?quesfonctionproconcexisteheappartiende?l'aire(lasousn'elapascourbOneelletinOnueesur,Onl'inconsid?redeuneen.quiPsieon:a.g,RemarouqueP:ourCecionestbresvrainomCensifonctitenanoconsid?re?coleetc.R R [x,y],]x,y[,]x,y] [x,y[
x =−∞ y = +∞
I R f : I→R
0
F : I→R f F I F = f
0
∀x∈ I,F (x) = f(x)
1
I =]0,+∞[ R f :]0,+∞[→R : x7→
x
F :]0,+∞[→R : x7→ lnx f
G :]0,+∞[→R : x7→ 1+lnx f
f : I→R F f
f
f :R→R
1 x> 0
f(x) =
0 x < 0
f : I→R F f
f : [a,b]→R
Z Za b
f(x)dx =− f(x)dx
b a
I R f : I →R a,b,c∈ I
Z Z Zb c c
f(x)dx+ f(x)dx = f(x)dx.
a b a
f : I→R a∈ I F : I→R
Z x
∀x∈ I, F(x) = f(t)dt
a
f
mitiveilnprimitivaussidede,c'est-?-dire?inR?pSoitonseune:eNon.?eIlTh?or?meexieststeetbveauctenanohoisituppr?paratoiredeestfonctionssurfonctiondepr?sultatour.lesquellesdetouteuneourditprialleuneeut-?treemeuneunt.lePreuvdeexempleuela.fonction2pDeuxi?mequeCenEst-ce.:si1existed?nielaparOnQuestiona.andedeeitivprimitivrvune,aussilasicestuefonctionfonction.LaAlors.insi).dece.primitivfoPbleourallonsd?md?monosuivnSoittrertervqu'ilconn'OnexisteD?nition.pasladet?gralespparrduimitiv?kine,traleonunpExemple.eutsiutiliser,leetth?partoutoder?d?rivmesideeDarbsaitoux.qu'onQuestionle2suiv:tEst-ce(RelationqueChasles)pSoitouruntoutetefonctionalleconprimtinuneuefonctionunequeestfonctionfonctionoLatin.et,Oniluneexiste.unedepritervmitivuneD?nition.fonctionoudeplae?(aR?pouonser:laOui.deNoussous-ensemallonsNouslemaind?monttrertrerunr?sultatpaneuTh?or?me.plusestlalleoinifonctionn.tinD?nition..Soitcconsid?reUnOnes.AlorsdefonctioneetallIntervd?niein2unecyclefonctionsemestrecontinPue.dexisteOnd?nitil?colen'existepasestdeprimitivprimitivdee,.pare.f : I→R F : I→R f
Z b
∀a,b∈ I, f(t)dt = F(b)−F(a)
a
Z 1
2 dt
√
21 1−t−2
1
t7→ √
21−t
Z 1
2 dt π π π
√ = Arcsin(1/2)−Arcsin(−1/2) = −(− ) = .
21 6 6 31−t−2

1 1 1 1
lim + +···+ +···+
n→+∞ n+1 n+2 n+k n+n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
U = + +···+ +···+ = · + · +···+ · +···+ ·n 1 2 nkn+1 n+2 n+k n+n 1+ n 1+ n n 1+ n1+ nn n n
k 1
x = 1+ f : [1,2]→R t7→k
n t
2−1 2−1 2−1 2−1
U = f(x )· +f(x )· +···+f(x )· +···+f(x )· .n 1 2 k n
n n n n
Z 2
f [1,2] lim U = f(t)dtn
n→+∞ 1
Z Z2 2 dt
f(t)dt = = ln2−ln1 = ln2
t1 1

1 1 1 1
lim + +···+ +···+ = ln2
n→+∞ n+1 n+2 n+k n+n
deeprimitivth?or?mecycleSiuneettrale(suite).testesOnussemestrearcsinSifonctiontlanotedunquealorsonsaPuisquetinlaCenfonctionunevPreuvest.confonctiontinCorollaire.ue,surlasaduNousDoncese,d?mononDeuxi?mepue,eutcondirefonctionquedu.pr?paratoireExempleest2.3CalculereCalculerUn1.FinalemenPcorollaireExemple.plesonexemt.Deux.3pr?c?den?kinetlafonctiontreth?or?menpartir.quiOr,de?e?critiv.primitonunealors,facilemet?cole.y = f(x)
?kinDeuxi?mesemestrealleespac?sCendutincyclecourbpr?paratoirein4fonction4R?guli?remenVsousodcabulaireUndetervlaUnele?onconUneueintt?graleL'airePlaeeUntraleeUne?coleprimitivcorollairef g [a,b] α
Z Z Zb b b
(f(x)+g(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx
a a a
Z Zb b
α·f(x)dx = α· f(x)dx
a a
Z Zb b
∀x∈ [a,b],f(x)6 g(x) f(x)dx6 g(x)dx
a a
ϕ : [a,b]→R ϕ([a,b]) {ϕ(x)|x∈ [a,b]}
ϕ ϕ([a,b]) [c,d]
a,b ϕ : [a,b]→R f : ϕ([a,b])→R
1ϕ∈ C ([a,b]) ϕ [a,b]
f ϕ([a,b])
Z Zϕ(b) b
0f(x)dx = f(ϕ(y))·ϕ (y)dy
ϕ(a) a
SiD?nition.ariable.tinmath?matiquesqueRestemarCenqueque:tionOn15saitsemestrequeosesit?gralevd?esttervunesuppfonctionsurcon10tinpr?paratoireue,PalorsOndesontsuppChangemen,2aalors?eestsurunPropri?t?sin.tervquealltine2006de.lanformeon,duSisdtefonction..suppTh?or?mequeduetcosehangemenOntl'indec'est-?-direvdeariable.uneSoienrivtconortanuepl'indeuxaller?els,1imInt?grapropri?t?sOntroisosealors:aconOnuer?el.Th?meunmaiuneLundifonctionAlorsbl?l'ensemCoursan?aisPreuvFetetdes,rsur1uescyclenotetinconDeuxi?mefonctions?kineettraleunedeux?coleestune.fonction,e.f(x) I
1J ϕ(y) : J →R C (J)
c,d∈ I a,b∈ J ϕ(a) = c,ϕ(b) = d ϕ([a,b])⊂ I
Z Zd b
0f(x)dx = f(ϕ(y))ϕ (y)dy.
c a
ϕ(y) f(ϕ(y)) f(x)
x ϕ(y)
0
dx dϕ(y) = ϕ (y)dy
−1
c ϕ (c)
−1d ϕ (d)
a,b ϕ(a) = c ϕ(b) = d
Z 1 √
1−xdx =
−1
x = 1−y dx =−dy −1 = 1−2 1 = 1−0
Z Z Z 21 0 2 3/2 5/2√ p √ y 2
1−xdx = 1−(1−y)(−dy) = ydy = =
3/2 3−1 2 0 0
2
x = sin y
2
y sin y =−1
x = cos2y dx =−2sin2ydy
π
−1 = cos(2· ) 1 = cos(2·0)
2
Z Z Z Zq1 0 π/2 π/2√ p √
21−xdx =−2 1−cos(2y)sin2ydy = 2 2sin ysin2ydy = 2 2 sinysin2ydy =
−1 π/2 0 0
Z5/2 π/2 5/2 5/2 2 2 2π/22 3= 3sin ycosydy = sin y =
03 3 30
π
x = cos2y −1 = cos(2·( +kπ)) 1 = cos(2·(lπ))
2
Z Z Zq1 (π/2)+kπ (π/2)+kπ√ √
2
1−xdx = 2 2sin ysin2ydy = 2 2 |siny|sin2ydy
−1 lπ lπ
a(y) = |siny|sin2y a(y + π) = a(y) a(π− y) = −a(y)
Z Zπ Y+nπ
a(y)dy = 0 a(y)dy = 0 Y n∈Z
0 Y
Z Z Z(π/2)+kπ π/2 1 5/2√ 2
a(y)dy = a(y)dy = 2/3 1−xdx =
3lπ 0 −1
iii).iii')etariable.,lorsonsepdueutetaussiet?criretcueeourvcycleadr?elCenbrer?elsnom.deunpasvn'existetervqu'ilconparcehangemen,etetDoncNon?hangemenexemple,.parbieer,?crireyvessaeeutetpfonction.tervOnIltrouvfacileequealors.qu'onunEst-cepuisii)uneDoncde.deetr?elEnsuiteen.vdonc2,semestreercyleessaPeuttppOnretrouvi)queOn?1.Exempleec3a)desouexistques'iltelsSibresdansnomuneieursalleplusinoir.vesaalorsydeeutoirpdonne(ilOn"alle"inparsur",,"tinparfonction,Soitparv,tparcalorspremplacetoutOnth?or?me.toutfonctiontierlaersionque.eAutresimplpr?paratoireOrdulaDeuxi?mefonctioneutplusTsoithoisirquectelle?kinpe.ecaaoujoursOnhealorshercOnc,onon,epratiquenvtralev?rieEneutalorset,D?setfonctionunede?colevariable.Z 1 dx
Arctan(x)
21+x0
Z 1
dx
= Arctan1−Arctan0 = π/4.
21+x0
dx2x = tany dx = (1+tan y)dy = dy 0 = tan0
21+x
1 = tan(π/4)
Z Z1 π/4
dx
= dy = π/4.
21+x0 0
x = tany 0 = tan0 1 = tan(5π/4)
Z Z1 5π/4dx
= dy = 5π/4 ϕ(y) = tany
21+x0 0
y = π/2 [0,5π/4]
ϕ(y) = tany
1C [0,π/4]
Z 1 xdx 2√ x = u −1
(2x+1) x+10
√ 22dx = 2udu 0 = 1 −1,1 = 2 −1
√Z Z1 2 2xdx (u −1)2udu
√ = =
2(2x+1) x+1 (2u −1)|u|0 1
probl?me!Ici,AEssadelaonsfonctionprimitivadufoisAlorscettet,pariable2v?deCenn'estOnpasded?nietenonstinnfonctionhangemesaitcrm?me4,(doncPelletrouvn'estetpasdoncd?nieariablesurEssatoutcl'invtervcalle.leDonconsety?crireEssadeii)este..POnhangemenneariablep3eut?doncecpasDeuxi?meutdiliser.lealorsth?or?me.deac.hangemen,t.devv.ariableydanslecehangemencas.deDansariablelahangemensituationlei)yc'estAlorspi)ossiblet?grer.car,trouvononeutiable?rlaaevunedequeestOnd?nieCalculonset.deaclassectthangemenvsurExemplel'inaterv?)alle?cpr?paratoiredevIlcycleunsemestreyec?kin.e5traleExempleet3OnCalculonsevth?or?mele?cole?coleCentraledmencabulaireUneariablePla?kinhangdeDeuxi?mevsemestrededule?oncyclecpr?paratoiree4t6vVUneoersion[a,b] f,g
1[a,b] f,g∈ C ([a,b])
Z Zb b
b0 0f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] − f(x)g (x)dx.a
a a
Z Zb b
b
d(f(x))·g(x) = [f(x)g(x)] − f(x)·d(g(x)).a
a a
Z e
lnxdx
1
Z Z Ze e e
dxelnxdx = [lnx·x] − d(lnx)x = e− x = e−(e−1) = 11 x1 1 1
Z 1
x 2
e ·x d