Correction : Géométrie, Triangles équilatéraux inscrits sur une hyperbole
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Correction
d’après E4A PSI 2001
1.a,,avec≠0 donc((+++)+3) 3.
1.b Par intersections des hauteurs :−−2donc∈(γ) .
2.a
2.b
2.c
3.a
3.b
4.
Pour un triangle équilatéral=.
,,sont les racines de() avec()=3−σ12+σ2−σ3oùσ1=++,
σ2=++etσ3=.
L’identification des coordonnées deetdonne :
σ1=3λetσ2= −3σ232. Orσ3= −2λdonc on parvient au polynôme proposé.
λ avecλ2≠carnon somme
λ( t ( deγcercle circonscrit dont l’équation est : le centre du ) est
−+−2=av
(λ)2λ2ec===.
Les abscisses des points intersections de ce cercle et de (γ) sont les solutions de l’équation :
(−λ)2+21λ12t encore2λ2(−λ)2+2(λ−)2−λ222=0 .
− =soi
Cette équation (de degré 4) possède quatre racines (comptées avec multiplicité) parmi lesquels,,.
Par relation coefficients racines, on obtient : La quatrièmevérifie+++=2λdonc
=2λ−(++) . Orλ=(++) 3 donc=2λ−3λ= −λ
.
−
Finalementλλ(symétrique depar rapport à l’origine).
−
(0)()<0 .
Si>0 alors lim= −∞,(0)>0 ,()<0 et lim= +∞.
−∞ +∞
L’application du théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence de racine dans chacun des
intervalles−∞ 0, ,, 0et,+∞.
Si<0 ,manière semblable des racines dans chacun des intervalles on obtient de −∞,,, 0 et
,+∞.
Les relations coefficients racines d’un polynôme donnent :1+2+3=3,12+23+31=3 te
123
2
123= −.
Soitle centre de gravité etl’orthocentre du triangle123.
Par les relations précédentes, on aetet donc=. Par suite123est équilatéral.
Partant d’un pointsur (γ) , on considère on symétriquepar rapport à l’origine. L’intersection
de (γ) et du cercle de centrepassant pardéfinit 3 points,,. En effet l’équation définissant
les abscisses des points intersection est comme on l’a vu par les calculs précédents une équation de degré
4 de la forme :
(−)()=0 avec les racines déterminent les abscisses des points dontde la forme étudiée en 3.b
,,. Le triangleest alors équilatéral et par l’étude précédente on peut aussi affirmé que tout
triangle équilatéral sur (γ être ainsi construit.) peut
