Correction : Géométrie, Spirale de Cornu
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Correction
=1
2
2+, la tangente étant
(resp.= ±π), avec∈ℕ.
==1 donc=+puis sachant(0)=0 ,()=.
3.b
3.
2.d
2.c
2.b
2.a
etsont des fonctions impaires car les fonctions intégrées sont paires.
Par suite la courbe est symétrique par rapport au point.
′() cos(2)′′()−2sin(2)
′()==sin(2)′′()==2cos(2) , Det(,22)=2
Tous les points sont réguliers. Seul le point( pas birégulier.) n’est
(0) 0 ,(0)=(1, 0) ,33(0)= colinéaire à(0, 2) non(0) .
=
=1,=3 , il y a un point d’inflexion avec tangente horizontale en.
Posons0=0,π2et pour∈ℕ∗,=(2−1)π2, (2+1)π2
֏() est croissante sursiest pair et décroissante sinon.
Posons, pour∈ℕ,=π, (+1)π.
֏() est croissante sursiest pair et décroissante sinon.
La courbe admet une tangente verticale (resp. horizontale) aux points de paramètre= ±
1.b
(2+1)π
2
1.a
1.d
1.c
Via=2,()=2/ 2cos(2)et
0
est l l’image deΓpar l’homothétie de centr
2/ 22
()=sin().
0
e 2et de rapport.
− = −
Γ((0),(1))=(1)(0)1.
==(cos(2),sin(2)),=(−sin(2), cos(2)) .
=λdoncλ=2.
Notons à nouveaule point courant de l’arc.
ation angulaireα=λ=
Soitα surune déterminΓ,doncα()
horizontale à l’origine,α()=122.
′ ′
et 0
= = =
(,)(cosα,sinα)(0)=,(0)=0 donc
()=∫cos12et()=∫0sin122.
02
