Correction de Devoir Surveillé N°03

1.

2.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

Samedi08de´cembre2012

´ ´
CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚03

3.

`
PROBLEME 1
On donne ln(1 + 2)≈0 288 et−ln(1 + 2)≈05
PartieI.Re´solutiond’e´quationsdiff´erentielles

Onconsid`erel’´equationdiffe´rentiellelin´eairehomoge`ned’ordre1`acoefficientcontinu

(E1)z′+ztht= 0
Ici,a(t) = thts=hhctt. PrenonsA(t) = ln cht´gnoitulelare´nede(soLa.E1)s’it:´ecr

C
z(tch=)t

La solutionz1de (E1tidiinontlanonac´v)fiiretiaielz1ourtoutd´efiniep0(=)e1tst∈R
1
parz1(t ch) = .N
t
R´esolvonssurRletielerenid´ffitnoqeaul´’

•

•

(E2)z′+ztht=ttht
l’´equationhomoge`neassocie´e`a(E2) est (E1eS.)oitulossnss’´ecriventz(t=)cChtN
Pourd´eterminerunesolutionparticuli`erede(E2noitainolslisi,)tuavaredelthodam´e
de la constante : posonsz(t) =C(chttseroetuqe)d,
tht×z(t) =C(t)1cchhtt+C(t)′
1×z′(t) =C′(t1)ch1t
Parcons´equent,pouttoutt∈R,z′(t) + thtz(t) =Cc′h(tt.)
Ainsi,zest solution de (E2)si et seulement siCc′(htt=)ttht
si et seulement siC′(t) =tsht

Pourde´termineruneprimitivedetshtsurR:tiesrparsnapgeorni´t,
Ztsht dt=tcht−Zcht dt=tcht−sht

PrenonsC(t) =tcht−sht.
Unesolutionparticuli`erede(E2)estdrno´neeapz0(t) =tchtch−tsht=t−tht.

1

N

1.
a.

b.

c.

•

Parleprincipedesuperpositionpourlese´quationsdiff´erentielleslin´eaires,ilenr´esulte
que les solutions de (E2)ostnelfsnotcnsioefid´esnirsuRpar :

z(t) =t−thtc+Cht

Comme ch 0 = 1, la solutionz2de (E2)tininoitelaianifierv´dionactlz20(fieine=)e0ts´d
par

z2(t) =t−tht

N

PartieII.Etuded’unarcparam´etr´e
Dansleplan,rapporte´`aunrepe`reorthonorme´(j~i~Obeur’´Γduaeqontiscolare`eidnscoon,)
´tri ues :
parame q
(xy((tt)=)=tc1h−ttht
Remarque :les fonctionsxetyonsulosseltsedsnoitl`emprobesdeyhCaucutide´e´s
pr´ece´demment.

Etude de Γ :
D’apr`eslesproprie´t´esdeparit´edesfonctionsusuelles,xest une fonction impaire etyest
paire.Parcons´equent,l’axe(0yercrontdeundeitresteirys´mO.pndeΓe)esxedetuna
l’intervalled’´etude`aR+`tro(am´syrietarepppra´ltereneustiperaetcompOy).N
Soitt∈R+
Letableausuivantresumecespropri´ete´s
´

x(t) =t−tht

x′(t) = 1−(1−th2t) = th2t

x′(t)≥0
x′(t) = 0⇐⇒

t= 0

y(t 1) =
chth
st
=−
y′(thc)2t

y′(t)≤0
y′(t) = 0⇐⇒

t= 0

t
x′(t)

x(t)

y(t)

y′

0
0

0
1

0

+

ր

ց

+∞

+∞

0

−
N
SoitAltnedpeioramadΓpetr`e.Ce0meomx′(0) =y′(0) = 0, le pointAest stationnaire.
Pourd´eterminersielleexistelatangenteaupointA, formons le rapporty′(t)x′(t).

y′(t)−sht×ch2t1→ ±∞
x′(tch=)2tsh2t=−shtt−→−0

Ainsi,Γpr´esenteunetangenteverticaleaupointA.

2

N

:

d.

2.

e.

f.

Toutpointdiffe´rentdeAceriruetaledgnatteenpoautinseugilrte´lecoeretentdeffici
M(t), avect∈R+⋆´eparetsodnnm(t) =yx′′((tt)=)−s1ht. SoitBlepointdeΓo`ula
tangente a pour coefficient directeur−ramaL.peee`rt1τdeBrifiev´e

−shτ=−1 ieτ= Argsh 1∈R+

Explicitonslescoordonn´eesdeB:
ch2τ= 1 + sh2(τ=),2’duco`hτ= 2
thτ= shτ chτ= 12.
Pour expliciterτmethrigalound’de:xpri,e’lia1ha`rAsgomsn

Pour toutt∈R

Argsht= ln(t+

t2+ 1)

Par suite,
τ= ln(1 + 2)
Finalement,Bestlepointdecoorsee´nnodl’)´bno2´e+1n(ncnlo−12;1t2.
Aveclesdonne´esnum´eriquesfourniespare,oient
ln(1 + 2)−21≈02=2218et1≈07.
Nousende´duisonsune´equationcarte´siennedelatangentea`ΓaupointB:
y=y(τ) + (−1)×x−x(τ)=12−x−ln(1 + 2)−12
= ln(1 + 2)−x

N
D’apr`esletableaudesvariationssimultan´eesdexety,Γpse´retnebenucnarinheiefinau
voisinage det= +∞:
li+mx(t) = +∞,
t→ ∞
li+m∞y(t) = 0.
t→
Ladroited’e´quationyotehorizstasymptaΓvuioisnoatela`genadee0=t= +∞.N
Amainleve´e1

SoitM0reetm`raniopnuapedΓedtt0∈R.

1teurase´peistsidanraro

3

a.

b.

1.

2.

3.

Sit0= 0, la tangente au pointAauit´rqepauoonx= 0.
Sit0∈R⋆, le pointM0neeta`aΓedalatgnupointluge´rtseontiuaeqe´Unr.ieM0est
1x−t0+ tht0
y=−
cht0sht0dia-re’e,c-`st

x−t0
y=−
sht0

N
◮sit0∈R⋆inpoauaΓtl,tatn`enaegM0coupe l’axe des abscisses en un pointN0.
Notonsx0l’abscisse deN0.x0v´ifier=e0x0sh−tt0o’D.eerjiut`x0=t0. AinsiN0a
0
pourcoordo´escarte´siennes(t00).
nne
−−−→
´
vhtLete0ct−eur1chMt00N.0eusqee´rstncoacorcon,ntdnoecnodruoparPase´isneent0−t0+ tht0−1cht0=

M0N02=k−M−0−N→0k2= th2t01h+2t0= 1
c

◮Sit0= 0, le pointM0=Atemdruoproocnnod´ees(0a1). Comme en ce point
la tangente est verticale, elle coupe l’axe des abscisses en l’origine et l’on a encore
M0N0= 1.N
Partie III. Intersection avec une famille de courbes

On noteCαlaitno:de´’qeaug´ebriqucourbeal

x2+y2−2αx= 1−α2

Soitα∈R. Pour tout (x y)∈R2,

2−α2+y2= 1−α2
2+y2= 1

x2+y2−2αx= 1−α2⇐⇒(x−α)
⇐⇒(x−α)
Ainsi,Cαest le cercle de centre Ωαα0et de rayon 1.
SoitM=M(terte)elpointdeΓdeparam`t∈R.

Mat`enitrappaCα⇐⇒

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

(t−tht)2h+c12t2α(t−tht) = 1−α
−
t2−2ttht−2αt+ 2αtht+α2= 0
(t−α)(t−2tht−α) = 0
t=αout−2tht=α

SoitMetr`eamareptdelopniα∈R⋆.

•

Unvecteurdirecteurdelatangente`aΓaupointM(α) estx′(α y′(α)

4

2

N

N

=h2αthchαα.
t
−

4.

−
•Un vecteur normal au cercleCαau pointM(α) est Ωα−−M→α=−thαc1hα.
Clairement,cesdeuxvecteurssontcoline´aires.Parconse´quent,lestangentesenMαaux
deux courbesCαet Γ sont perpendiculaires.
Siα= 0,C0esrelcltce´t.eueinM(0) est simplement le pointA. Comme Γ admet une
tangente verticale au pointAtqeleuercceunlee´tiemdaenutgnatentehorizontaleecne
point les tangentes enAaux deux courbesCαet Γ sont perpendiculaires.N
Pour chaque valeur deαvasudsnoon,v´erueeqj`´ebsaoopnistocelssueslmmunsaux
courbes Γ etCαsont les pointsM(tuo`),tifierv´et=αout−2tht=α
Autrement dit,
Γ∩ Cα={M(t) ;t=αout−2tht=α}
Etudionslenombredesolutionsdel’e´quationt−2tht=αen fonction deα. Pour cela,
introduisons la fonctionf:R→Rdurseinfie´Rpar par

f(t) =t−2tht

fest derivable surRet pour toutt∈R
´

Parcons´equent,

f′(t)≥0

f′(t) = 1−2(1−th2t) = 2th2t−1

⇐⇒2th2t≥1
⇐⇒tht≤ −12 ou tht≥12
⇐⇒t≤ −Argth (12) out≥Argth (12)

Exprimons Argth (1’lia)2a`olagedudthri,imeielvnt
Argth (1221=)nl1 + 12!n=12l2+2−11!=21nl(1 +
1−12

Onende´duitlesvariationsdef:

x
f′

f

−∞

−∞

+

ր