Correction de Devoir Libre N°12
4
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
4
pages
Français
Documents
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Publié par
Licence :
Langue
Français
Publié par
Licence :
Langue
Français
N
j’uti-
−1
P−1AP= 1
0
2
−1
0
−01
1
11
1
210=T
2
1
0
0
2
0
1
1
0
1
0
0
3−2
1 0
0 0
1 2
−2−2
0 0
3
22
−11
2
−1 2−1
DoncPest inversible etP−1=1−0110.
0
b.
1.
One´tudiel’ensembleC(A) ={M∈ M3(R)|A×M=M×A}.
Calculsmatricielspre´liminaires
a.’lesr`apD’algorithme de Gauss-Jordan
1 2 1 1 0 0
111001 101000
01011002111−10100
0 0
2−1
101001000−110−0110
EXERCICE 1
On se place dans l’espace vectorielE=M3(R) des
d’ordre3a`coefficientsr´eels.Ondonne
A=301−202023 P=100111121 T=001
0
2
0
trice ´
ma s carrees
1
a`rendrevendredi19avril2013
N
´
CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚12
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
Pourd´emontrerqueC(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R),
liselacaracte´risationdessous-espaces:
2.
210
3.
a.
b.
• C(A) est non vide :
En effet, la matrice nulle commute avec toute matrice d’ordre 3, donc
en particulier avecA.
• C(Aes)aisonlin´eaire:statlbperaocbmni
Soient (M N)∈ C(A)2etλ∈R, alors
(M+λ∙N)×A
=
=
=
=
M×A+ (λ∙N)×A
A×M+λ∙A×N
A×M+A×(λ∙N)
A×(M+λ∙N)
Ainsi,M+λ∙Ncommute avecA.
• C(Ancunaisonliparcombi’csedtno´naeri,ees)elbatsteedivnont
sous-espace vectotriel deM3(R).N
SoitM∈ M3(R), une matrice quelconque.
On poseM′=P−1×M×P. Raisonnons par equivalences :
´
A×M=M×A
b
SoitM′=aed
g h
M′×T=ad22be
g2h
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
P−1(A×M)×P=P−1(M×A)×P
(P−1A×P)×(P−1×M×P) = (P−1×M×P)×(P−1×A×P)
T×M′=M′×T
fci∈ M3(R). Alors
ehb2++2+fcetT×M
2i
=2d2+gag
′
2
b
2e+h
2h
N
2f+2iic
Parconse´quent
M′×T=T×M′
⇐⇒
⇐⇒
dag222eehhbb2+2++2cfi=
a=a
2b=b
b+ 2c=c
22ed+++2ghf===d22fe+i
e
2g=g
2h= 2h
h+ 2i= 2i
a
2d+g
2g
b
2e+h
2h
b
c
⇐⇒d+gh
e
g
=
=
=
=
=
=
Ainsi,M′fie´erivT×M′=M′×Tsi et seulement silesdete´esrilisex
a e ftels que
0
M′=a∙00010
0 0 0+e010001000+f∙000100000=0a00e0ef0
N
c.seluse´rnaltlisiEnutces.alenquivnsiostuesqdetstapsnoe´raiaRnnos
pre´ce´dentesnousobtenons:
M∈ C(A)
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
T×M′=M′×T
b c)∈R3;M′=a0 0
∃(a0b c
0 0b
a0 0
∃(a b c)∈R3;P−1×M×P=0b0cb
0
a b c)∈R3;M=P×a0 0
∃( 0b c P−1
0 0b×
3
f+ci
22i
0
0
0
0
i
0
b
c
d
⇐⇒
g
h
e
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
i
4.
Or
1
1
0
2
1
0
1
1
1
a0 0b−21100−110
000b c1−
−a+ 2b2a−b−a+b+c
0aa20bb2cc++bbb−a+b20a−2b0−a+b+ 2cb
FinalementMtna`paapiertC(A)si et seulement siilexistedslee´rse
a b ctels que
−−aa+2+bb
M=0
2a−2b
2a−b
0
−−aa++bb+2+cc
b
N
D’apr`eslaquestionpr´ece´dente,toutematriceM∈ C(Aossu’se´rcti)
la forme :
M=a∙−−210021−−101+b∙201−−111021+c∙10000002=a∙C1+b∙C2+c∙C3
0
Autrement dit la famille{C1;C2;C3}engendreC(A). Montrons que
cette famille est libre :
Soit donc (a b c)∈R3tel que
⇐⇒
a∙C1+b∙C2+c∙C3= 0
Cette´equationmatriciellesetraduitpar:
(1)−−aa0+2+bb22aa−−02bb
= 0
ba= 0
c= 0
⇐⇒
−a+b+ 2c
−a+b+c
b
(1)
Ainsi, la famille{C1;C2;C3}de´ne´gteeecirtaretserbilC(A) : c’est
donc une base deC(A).N
4
