Correction de Devoir Libre N°03

1.

3.a.

b.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

a`rendrelemercredi10octobre2012

´
CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚03

`
PROBLEME 1

Soitf(t1)=nlt.fts´dfieinenuesur]0eetconti1[∪]1+∞[. Pour que
l’inte´graleZx2xf(t)dt´dfieostiessan´eclestnieieuqtnasffiusteerif
soit continue sur le segment [x2xertutnem,tidttec.A]eint´egraleest
de´finielorsque[x2x]⊂]01[ ou [x2x]⊂]1+∞[. Or
[x2x]⊂]01[⇐⇒0< x <[12etx2x]⊂]1+∞[⇐⇒1< x
2x
Parconse´quent,l’int´egraleZdttdiepoursedte´nfix∈]012[∪]1+∞[.

xlnt
N
Onconsid`erelafonctionFdsn0]eiade´nfi12[∪]1+∞[ par
dt
F(x) =Zx2xlntdt
La fonctionfest continue sur chacun des intervalles ]01[ et ]1+∞[.
D’apr`esleTFCI,elleyadmetdesprimitives.NotonsGune fonction
eGest une primitiv7→rsu1
de´finiesur]01[∪]1+∞ de e[ telle qutlnt
]01[ et sur ]1+∞.[’Dapr`esleTFCI, pour toutx∈]021[∪]1+∞[, on
a
Z2xf(t)dt=G(t)2x=G(2x)−G(x)
F(x) =

xx
N
Parde´finition,Giravdte´ru0]lbsees1[∪]1+∞[. Par composition, il
s’ensuit quex7→G(2xts´drevibaelus]r)0e[21∪]1+∞[. Par suite,F
apparaitcommediffe´rencededeuxfonctionsd´erivablessur]021[∪]1+∞[.
Elleestdoncd´erivablesurlar´euniondecesdeuxintervallesetlare`gle
dede´rivationenchaˆınes’applique.Pourtoutx∈]02[1∪]1+∞[, nous
avons :
F′(x) = 2G′(2x)−G′(x)=2nl2x−nl1x(ln(2ln=xx))2l(nx)

1

c.

4.a.

b.

N
Remarqur]012[∪]1+∞[, le produit ln(2x)×lnxest to
uons que su-
joursstrictementpositif,parconse´quent,F′(x) est du signe de ln(x2).
Onende´duit:
1
1 2 +∞

x
F′(x)

F(x)

0

0

−

ց

−

0

ց
F(2)

+

ր

Soitx∈]012[∪]1+∞[. Pour toutt∈[x2x], on a

x≤t≤2x

N

Par monotonie defsur ]012[∪]1+∞[, il s’ensuit que
1 1 1
ln 2x≤lnt≤lnx
Parcroissancedel’inte´grale(lesbornessontdanslebonsens),ilen
resulte finalement que
´
xF(x)≤x
≤

ln 2xlnx
N
Au voisinage de 0+:
Parope´rationsalg´ebriquessurdesfonctionsposse´dantdeslimites,on
xt limx= 0.
axli→0m+ln(2x=)e0x→0+lnx
D’apre`sle`roe´hTntmeilimetapercndaeremed’existencede, il
d´ecoulealorsdel’encadrementpr´ece´dentque

limF(x) = 0
x→0+
De plus, pour toutx∈R+⋆on a l’encadrement
ln12x≤F(x)≤l1
xnx
Commelesfonctionsencadrantesontmˆemelimite0lorsquextend
vers0,ilenre´sultepar encadrementque :

limF(x)=0
x→0+x

2

5.

c.

a.

Remarque :Commexli→m0+F(x) = 0, la fonctionFest prolongeable
F(x)
parcontinuite´aupoint0enposantF(0) == 0. De plus, comme lim
x→0x
0, la fonctionFemmomdatc0teleab0eend´stiverolgne´eeiasnpior
nombrede´rive´een0.Parcons´equent,legraphedeFadmet une tan-
gente horizontale en 0.

N
Au voisinage de +∞.
lnx2x≤F(x)≤lnxx
Or paroicranssscsceepearo´mxl→i+m∞ln2x2x= +∞uentqe´snocraP.
la fonction minorante tend vers +∞en +∞ `es. D’ leeme´hTe`ro
apr
d’existence de limite par comparaison, il s’ensuit que

limF(x) = +∞
x→+∞

De plus, pour toutx∈R+⋆, l’encadrement

1F(x) 1
ln 2x≤x≤lnx

montrepar encadrementque :

limF(x)=0
x→+∞x

Remarque :ainsi, le graphe deF
dans la direction de (Ox).

Onconside`rel’application

Φ

:

N
pre´senteunebrancheparabolique

]01]
t

→R.
7→2−2t+ lnt

Φestde´rivablesu1.
r ]01] et pour toutt∈]01], Φ′(t) =−2 +tPar
suite Φ′(t)>0⇐⇒0< t <.21nenOleauetabuitld´edoinirtaedav

3

b.

c.

d.

de Φ :

t
Φ′(t)

0

α
+

1

0

−

1

1−ln 2
ր ց
Φ(t 0) 0
ր
−∞
En particulier, Φ est continue et strictement croissante sur ]012esr`apD’[.
leejibaledeme`roe´thnctio]e0oidnejtcenibiseu´eal,Φr12[ sur
] l0i+m ΦΦ(1)] =]− ∞1−ln 2].
Comme 0∈]−∞1−ln 2], il existeα∈]021[, unique , tel que Φ(α) = 0.
N
Soitt∈[α1].
1

•siα≤t≤a,2ictrcrterslorspa(Φed,Φnaeciosst)≥0
•i12s≤t≤,Φedecnassiorce´pard1,Φ(t)≥0.
Dans tous les cas Φ(t)≥0,c’es-ta`d-rie

lnt≥2t−2

N
Soitx∈[α12[. Soitt∈[x2x]. En ce cas,t∈[α1]et`rse’dpaal
question precedente,
´ ´
1 1
lnt≤2t−2
Parcroissancedel’inte´grale(lesbornessontdansleright sense), il
s’ensuit que
F(x)≤21Z2xdt2ln1=x−1
xt−1 2x−1
N
1 2x−1

Comme lim lnx1=−∞uoceudel,d´ilmee´hte`ro
x→12−2−
tence de limite par comparaisonque

xl→i1mF(x) =−∞
−
2

4

d’exis-

N

6.a.

b.

7.a.

b.

Soi Ψ : [1+∞[→RofcnitnoalΨ(arefid´epnit) =t−1−lnt. Ψ est
de´rivablesur[1+∞[ et pour toutt≥1, Ψ′(t) = 1−1t≥0.
Ainsi Ψ est croissante sur [1+∞aP.[nocrqe´sntueou,pourttt≥1,
Ψ(t)≥(Ψ)10=c,qeuirevientpr´ecisa`tneme´leuqeridnt≤t−1.N
Soitx >1 ett∈[x2x]. En ce cas,t >nioaqslstue1epr`etd’a
pre´ce´dente0<lnt≤t−1. Par suite

1 1
lnt≥t−1

Parcroissancedel’int´egrale–lesbornessontdanslebonsens–,ilen
resulte que
´
F(xZx2xtd−t=1nl2xx−−11
)≥
Commexli→1m+ln2xx−=+11∞r´enil,seluetpar comparaisonque
−

limF
x→1+(x) = +∞

N
Letableausuivantr´esumel’e´tudedesvariationsdeF, ainsi que ses
limitesauxbornesdudomaineded´efinition:

x
F′(x)

F(x)

0
−
0
ց

−∞

1

1

+∞

On noteCla courbe representative deF
´
(~j~). On poseC′=C ∪ {O}.
O i

−

ց

2
0

F(2)

+

ր

+∞

+∞

N
dansunrepe`reorthonorme´

5

6

•

•

•

Lesdroitesd’´equationx2et=1x= 1
sontasymptotes verticalesa`C′.
C′admet unetangente horizontaleen
O
C′admet unebranche paraboliquede
direction (Ox) au voisinage de +∞.N