Correction : Analyse, Propagation d'une information

Propagation d’une information

Préliminaire

Etablir que pour toutde l’intervalle−1,+∞ ln(1, on a+)≤.

Objectifs et notations

Ce problème étudie différents modèles de propagation, au cours du temps, d’une information au sein d’une
population contenantindividus oùest une entier naturel strictement supérieur à 3. On désignera par le réel
positif la variable représentant le temps.
On suppose qu’à l’instant initial (=0 ) une seule personne parmi cette population est informée. L’information
circule au sein de cette population et lorsqu’une personne est informée à l’instantelle le reste indéfiniment.
Pour tout réel,désignera la partie entière de, c’est à dire l’unique entier relatiftel que≤<+1 ,
et la fonction ln représentera la fonction logarithme népérien.

Partie I : Premier modèle de propagation

Soitun réel strictement positif. On considère un intervalle de tempsstrictement positif et tel que <, 1
ainsi que les instants, où l’entierdécritℕ. Pour tout, on note( proportion de personnes) la
informées à l’instant.
On fait l’hypothèse que l’augmentation de cette proportion entre les instantset (+1)est déterminée par

la relation :
∀∈ℕ,+1()−()=(1−())
On pose0()=1.
1.a Exprimer 1−+1( fonction de 1) en−() .
1.b Déterminer l’expression de( la valeur de) et lim() .
→+∞
2. Soitun réel fixé strictement positif. Le rapportsera également noté.
. D
2.a Comparer,et+1éterminer li→m0.
2.b Déterminer lim0[]() .
→
3. On suppose dans cette question que la proportion de personnes informées est définie à chaque instant,
oùest un réel positif, par() ,étant une fonction définie et dérivable surℝ+. On fait l’hypothèse
que l’accroissement instantanée de la proportion de personnes informées est déterminé par l’équation
différentielle :
∀∈ℝ+,′()=(1−()) .

Déterminer la fonctionsachant que(0)=1.

Partie II : Second modèle de propagation

On désigne toujours parune constante réelles strictement positive. On considère un intervalle de temps
strictement positif et tel que < ainsi que les instants1 ,, où l’entierdécritℕ. Pour tout, on note
(proportion de personnes informées à l’instant ) la.

On fait l’hypothèse que l’augmentation de cette proportion entre les instants
la relation :

et (+1)est déterminée par

∀∈ℕ,+1()−()=().(1−()) .

On pose0()=1 .

1.a Pour tout entier naturel, exprimer 1−+1( 1 fonction de) en−( de 1) et−() .
1.b Montrer que la suite (())∈ℕest à valeurs dans1,1.
1.c Etudier la convergence de (( l déterminer la valeur de)) et→i+m∞() .

2. Dans cette question, on se propose d’étudier la rapidité de diffusion de l’information.
2.a Montrer que pour tout entier naturel: 1−+1()≤(1−() avec=1−.

2.b

2.c

2.d

2.e

3.

3.a

3.b

3.c

4.

En déduire que 1−()≤−1.
nature=.
On pose pour tout entier l, 1(1−()
−)
Etablir que pour tout entier naturel: ln+1−ln=ln 1−1−()
 −1
En déduire que 0≤ln+1−ln≤1−.
On pourra exploiter le résultat du préliminaire.
−1
On pose pour tout entier naturel,=∑(ln+1−ln).
=0
Montrer que la suite () converge. On pose=lim.
→+∞
Déduire des questions précédentes l’existence d’un réelstrictement positif tel que :
1−()∼(1−).
→+∞
On ex tion deet de−  .
plicitera la valeur de 1en fonc 1−( )≥1
( )
.
On pose pour tout entier naturel,=(1−())(1+)
1
Montrer que pour tout entier naturel:+=1++22−().
 )) ((1 )(1
−1
En considérant=∑ln+1−ln 0, établir que :≤ln(1((−())1)1+())≤1−22.
−
=0

.
Déterminer li→m0[]( )
On suppose dans cette question que la proportion de personnes informées est définie à chaque instant,
oùest un réel positif, par() ,étant une fonction définie et dérivable surℝ+et à valeurs dans
ℝ+de la proportion de personnes informées est* . On fait l’hypothèse que l’accroissement instantanée
déterminé par l’équation différentielle :
∀∈ℝ+,′()=()(1−()) .

En considérant la fonctiondéfinie par()=(1l renimretéd ,)de ion ress’exp( tout réel) pour
positif sachant que(0)=1.

d’après HEC 1999

1.a
1.b

2.a

2.b

3.

1.a

1.b

1.c

Correction

Partie I

1−+1()=(1−)(1−()) .
(1−()) est géométrique de raison 1−donc∀∈ℕ,1−()=(1−)(1−0()) .
Par suite()=1−−1(1−)etl→i+m()=1 car 0≤1− <1.
∞
≤<+1 donc≤<+1car >0 .
On a donc−≤≤ let par le théorème des gendarmes :i→m0=.
−
Quand →0 :[]()=1−1(1−)[].
(1−)[]=exp([