Correction : Analyse, Moyenne de Césaro
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1.a
1.b
2.a
2.b
3.
1.a
1.b
1.c
2.
3.a
3.b
3.c
1.
2.a
Correction
Partie I
(1)1(0) (1)0(1)
σ+1−σ=+(++1−)(++2)⋯+=+−(++1)⋯(++2)+−≥0 .
() est une suite croissante de limiteℓdonc∀∈ℕ,≤ℓ. Par suite∀∈ℕ,σ≤ℓ+..+1.+ℓ=ℓ.
(σ) est croissante et majorée parℓdonc elle converge vers une limiteℓ′≤ℓ.
0 12 10 111 1
σ2+1=+⋯+2+++2+⋯++≥ +⋯+2++2++⋯++=2σ+2+1.
A la limiteℓ≥′12ℓ+′12ℓdoncℓ′≥ℓpuisℓ=′ℓ.
Soit () une suite décroissante de limiteℓet (σ) la suite de Césaro associée. Soit ( par) définie
= −et (τ suite de Césaro associée. Puisque) la () croît versℓ, (τ) croît aussi versℓ.
Orσ= −τdonc (σ vers) décroîtℓ.
Partie II
Puisque→ℓ:∀ε>′0,∃0∈ℕ,∀∈ℕ,>0⇒−ℓ≤ε′. En partant deε′=ε a le résultat2 on
voulu.
immédiat.
− + + −
0ℓ⋯+10ℓ→+∞→ l’existence de0 donne1.
ne :ε(−0)
>1entraîσ−ℓ≤2++1 2ε≤ε.
Pour=(−1),→0 et () diverge.
(3)
=∑=0+1=32((3+1+)1)∼231→0 et () n’est i pas bornée3→+∞→+∞.
pu sque
Supposons qu’il existe0∈ℕtel que0>ℓ. Pour tout≥0:≥0donc
σ0+⋯+10−10+⋯1+0+⋯+10−1−01+10. A la limite quand→ +∞:
= + ≥ +
+ + + +
ℓ≥0. Contradiction. En fait, le raisonnement par l’absurde ne s’impose pas ici et le précédent
raisonnement peut très bien être transposé pour former une démonstration directe.
Partie III
Par récurrence sur∈ℕ.
Pour= ok0 :
Supposons la propriété établie au rang≥0 .
=++1+⋯++1=+1+⋯++−1++car=+.
−
Récurrence établie.
+=(++1)σ+−(++1)=(0+⋯++)−(+1)−(1++⋯++)
donc+=(0+...+)−(+1)=(+1)σ−(+1)=
2.b
2.c
() est bornée par=max(0,…,−1 la périodicité de () car
∈ℕ:∈ {0,…,−1}.
→car
+1 (
σ=+
) bornée et 1+1
→0 .
) permet de dire que pour tout
