Correction : Analyse, Fonctions elliptiques
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1.
2.
3.a
3.b
3.c
3.d
4.a
4.b
4.c
5.
6.a
6.b
Correction
Partie I
La fonction:֏1 est définie et continue sur−1,1 .
(1−2)(1−22)
()1∼(1−12) 1−et()−∼12(1−12) 1+donc−11()existe.
2
Réalisons le changement de variable=sinτavecτ∈ −2π,2π.
= =
(sin())∫nsi0(12)(122)∫01τ2sin2.
− − −τ
−τ
∀∈ℝ−∈ℝet
,(−)=∫01−2sin2τ==−−∫01−2sin2τ= −() .est impaire.
La fonctionest la primitive surℝ, s’annulant en la fonction 0 de֏. 1
1−2sin2
֏1−2sin2est définie de classe∞surℝet à valeurs strictement positives donc
֏1−12sin2est∞et donc toute primitive de celle-ci, l’est encore.′()=1−2sni12.
Puisque′()>0 , la fonctionest strictement croissante.
∀∈ℝ, 1≥1
1−2sin2 )donc (≥0= →+∞∞+→puisl→i+m∞()= +∞.
Par imparité : lim()= −∞. Puisqueest continue et strictement croissante sur,réalise une
→−∞
bijection deversl−i∞m, li+m∞=ℝ.
a même monotonie queetest impaire.
est∞et∀∈ℝ,′()≠0 doncest∞.′=(−1)′ = ′1−1=1−2sin2.
′=′1−2sin2′ = −2′sincos= −2sincosd2sin cos 0
1−2sin2, onc+′′ =.
((+π)−())′ = −212+π−1−12sin2( )=0 donc֏(+π)−( constante.) est
1 sin ( )
En prenant=2π: 2π2π22π2sin2π2.
= − − = = =
En fait :=sin,=coset=1−22.
Par composition :est impaire et,sont paires.
Par composition :,sont∞.
Puisque=sin, on a≤ or1 ,<1 donc=0 1−22>0 puisest∞par
composition.
∀∈ℝ. Posons=() de sorte que=() .
On a(+π)=()+donc+π=(+) .
Par suite(+)=sin(+π)= −sin()= −() et(+)= −() .
Puisqueetsontantipériodiques,et 2sont aussi=4périodiques.
D’autre part(+)=() doncest=2périodiques.
6.c
6.d
6.e
7.
1.
2.a
2.b
2.c
3.
4.a
π2 () sinπ21
= =, 0( )
= donc =et()=
1−2.
′(sin)′′cos12sin2×=.
= = = −
2
′ =(cos)= −et′ = − .
′′=()′−=2−22= −((1− 2)2+(21−))2= −(1+
Donc+′′(1+2)−223=0 .
D’autre part(0)=sin((0))=0 ,(0)=1,(0)=1 puis′(0)=1 .
Si alors()=,()=puis()=sin,()=coset()=1 .
=∫101−2= [arcsin]01=π 2.
Partie II
)2+2 2
Considéronsψ:ℝ2→ℝ2définie parψ(,)=(+,−) .
On a clairementψφ=Idℝ2etφψ=Idℝ2doncφbijective etψ=φ−1.
1
Sachantφfonction de classe (, on obtient⇒ composition.) par
La réciproque s’obtient parψde classe1et=ψ.
∂11
(,)=+2,−2donne∂∂∂∂∂+=et∂∂=21∂∂−12∂∂.
22
Soit:ℝ2→ℝde classe1. On a
∈∂∂⇔=0
1 2
⇔ ∃α∈(ℝ,ℝ),∀(,)∈ℝ,(,)=α()
⇔ ∃α∈1(ℝ,ℝ),∀(,)∈ℝ2,(,)=α(+)
Donc={(,)֏α(+) /α∈1(ℝ,ℝ)}.
Soit:ℝ2→ℝtelle que proposée. En dérivant la relation(,)=(, rapport à) paron obtient :
∀(,)∈ℝ2,∂∂(,)∂∂=(,)∂∂=(,) donc∈puis la conclusion.
Soit: (,)֏()1()−2()2+()(2)()()( .)est de classe1par composition et on a
clairement(,)=(,) . C’est la suite qui est plus embêtante :
(,)=()()()+()()() ,(,)=(1−2)2()2()
.
∂∂(,)=()()()()−(1+2)()()+223()() .
∂∂(,)= −22()()()2() .
∂(,)(,)∂(,)(,) (()()()())(122()2())
− = −
∂∂
−(1+2)()()+22ɀ
