Correction : Analyse, Etude d'une suite définie implicitement
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1.
2.
3.a
3.b
4.a
4.b
1.
2.a
2.b
2.c
Correction
Partie I
Soit:ℝ+∗→ℝdéfinie par()=ln+.
est continue et strictement croissante donc 0,réalise une bijection de+∞surli0m, l+i∞m=ℝ.
Par suite l’équation () possède une unique solution=−1() .
De plus :(1)=1≤≤ln+=() donc∈1,.
−1
est croissante et≤+1 donc=−1()≤−1(+1)=+1.
Ainsi ( croissante.) est
l
Comme 1≤≤on a 0≤n≤ln→ ln donc0 et→0 .
Ainsi ln=() .
La relation+ln=donne alors=+()∼.
+1−=(+1−ln+)1−(−ln)=1−ln+1.
+ ∼donc+1→1 puis+1−→1 .
Or∼et+1∼1
∼→ +∞ ≠1 donc ln∼ln.
Puisque ln=ln+(ln) on a=−ln()=−ln+(ln) .
−lnln
= −ln+ln= −ln= −ln= −ln1−
∼lnln
Or ln∼ln→0 donc∼.
lnln
Ainsi=+puis=−ln+ln+ln.
Partie II
Soit:1,+∞ →ℝdéfinie par()=−ln.
est dérivable et′()=1−1≤0 sur 1,+∞.
Ainsiest décroissante et puisque(1)= a1 on∀≥1,()≥1 .
Finalement∀∈1,+∞, ln≤−1 .
Puisque֏lnest croissante,:֏−lnest décroissante.
Les points fixes decorrespondent aux valeurs d’annulation deϕ:ℝ+∗→ℝdéfinie par
ϕ()=()−=−(ln+) . Orϕest strictement décroissante etϕ()=0 doncest le seul
point fixe de.
Puisque(1)=,()=−ln≥1 etdécroissante la restriction deà 1,est à valeurs dans
1, (. Il s’en suit que la suite 1,) est bien définie et est formée d’éléments de.
Comme:,1→1, (est décroissante, les suites extraites2) et (2+1 monotones (et de) sont
monotonies contraires).
De plus ces suites sont bornées car formées d’éléments de 1,, donc ces deux suites sont convergentes.
2.d
2.e
2.f
3.a
3.b
∀∈ℕ, 1≤2,2+1≤donne à la limite 1≤α,β≤.
Commeest continue et2+1=(2) on obtient à la limiteβ=(α) .
De même, à partir de2+2=(2) , on obtientα=(β) .
Considérons à nouveau:1,+∞ →ℝdéfinie par()ln.
= −
est dérivable et′()=1−.P squ1i ue∀∈1,,′()>0 , la fonctionest strictement croissante
sur 1,.
Les égalitésβ=(α) etα=(β) donnent :
β=−lnα(1) etα=−lnβ(2) .
(1)−(2) donneβ−α=lnβ−lnαpuisβ−lnβ=α−lnα.
Ainsi(β)=(α) . Orétant strictement monotone,est injective et doncα=β.
Puisque (2) et (2+1 vers une même limite) convergentα, () converge aussi versα. Or
+1=() donne à la limite(α)=α.
αest donc point fixe deet par suiteα=.
Finalement→.
On sait (2) et (2+1) monotones.
A la calculatrice :2−0>0 et3−1<0
Donc (2 croissante et) est (2+1) est décroissante.
De plus ces deux suites convergent vers2par suite∀
A la calculatrice :
3
12= 101,554 à−près et13=1,559 à 10−3près.
Par suite2= 101,55 à−2près par défaut.
∈ℕ,2≤2≤2+1.
