Correction : Analyse, Etude d'une équation fonctionnelle
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1.a
1.b
1.c
2.a
2.b
2.c
1.
2.a
2.b
3.
∀∈ℝ,−∈ℝ
Correction
Partie I
ϕ(−)=ee−−2+−11=11−+ee2= −ϕ() ,ϕest impaire.
et2 2
ϕest∞etϕ′()=1−e22+1=′(e24e+21)2>0 .
ϕest donc strictement croissante surℝ.
Quand→ +∞,ϕ()∼ee22→1 doncl→i+m∞ϕ()=1 .
La droite d’équation= asymptote1 estϕen+∞.
Pui− =2>,Γ
sque 1ϕ()e2+01ϕest en dessous de cette asymptote.
Par imparité, la droite d’équation= − asymptote à1 estϕen+∞avecΓϕau dessus de cette
as m tote.
ϕest continue et strictement croissante surℝdoncϕréalise une bijection deℝsur
=li−∞mϕ, li+m∞ϕ−=]1,1[.
2
ϕ′()=(e24e2+1)2et 1−ϕ()=1−4+−22e2++11=(4e+2 .)1
2 24 2
Puisqueϕest dérivable surℝet∀∈ℝ,ϕ′()≠ peut affirmer que0 onϕ−1est dérivable et de plus :
(ϕ−1)′()=ϕ′(ϕ1−1())=1−(ϕ(ϕ1−1()))2=1−1.
Partie II
L’équation fonctionnelle pour=0 donne(0)=2(0) d’où(0)=0 .
()−(0)
=avec=2.
Quand→ +∞, on a→ par composition0 et→′(0) .
De part l’équation fonctionnelle :222+1
=. Donc=+1.
De part l’étude précédente :0=′(0) et donc∀∈ℝ∗,( )=. avecα=′(0) . De plus cette
α
relation est encore vraie pour=0 .
1.
2.a
2.b
2.c
3.a
3.b
3.c
3.d
3.e
3.f
4.a
Partie III
ϕ . 0est dérivable en
∀∈ℝ,+2ϕϕ()=2e(e+21)−1)+ee((2+−))11=ee4−+11=ϕ(2) .
12( ) ( 22 2 4 2
L’équation fonctionnelle pour=0 donne(0)=1+2(2ù)o’d0 0)(
(0)(2(0)−1)=0 . Par suite(0)=0,1 ou−1 .
−est dérivable en 0 puisquel’est.
−
∀∈ℝ,−(2)= −1(2(()))2=2((1(())))2.
+ + −
()=1+22avec=(2) . Or (−1)2≥0 et (+1)2≥ :0 donnent−(1+2)≤2≤(1+2) et
par suite−1≤()≤1 .
Quand→ +∞, on a 2→0 et puisqueest continue en dérivable en 0 (car ) on a 0
=2→(0)=1 .
2+
22+
=2 =1++112=1+21+1.
2
Par la relation ci-dessus :
(≥0⇒+1≥0 ) et (≤0⇒+1≤0 ).
Par suite ( de signe constant et puisque) est→ peut affirmer que la suite1 on ( positive.) est
2−
=
+1−=+11(++21+11)≤0 car+12+1 ∈ [−1,1].
Par suite ( décroissante.) est
( vers 1 , donc) décroît∀∈ℕ,≥1 .
Or=2∈[−1,1]donc∀∈ℕ,=1 .
Puisque0=1 , on obtient()= ceci pour tout1 et∈ℝ∗. Comme ceci est de plus vrai pour=0 ,
.s’avère être constante égale à 1
Dans le cas où(0)= −1 , on applique l’étude ci-dessus à−pour conclure queest constante égale à
1 .
−
Supposons∃∈ℝtel que()=1
.
Considérons () de terme général :2.
=
e ci-des=2+1.
Comm sus 1+2+1
Par récurrence on montre alors=1 .
Or→(0)=0 , c’est absurde.
Par suite∀∈ℝ,()≠1 .
De même :∀∈ℝ,()≠ −1 .
4.b
4.c
ϕ((2))=(2)=1+(2(()))2etϕ(2())=1+(2ϕϕ(((()))))2=1+2((()))2
L’applicationϕétant injective :(2)=2() .
De plus, par composition,γ 0est dérivable en .
De part la partie II :
∃α∈ℝtel que∀∈ℝ,()=α.et donc()=ϕ(α.
e2α1
−
)=e2α+. 1
.
