Correction : Algèbre linéaire, Puissances d'une matrice
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d’après ICARE 1999
1.
2.
3.
4.a
4.b
4.c
1.a
1.b
1.c
2.
3.a
3.b
Correction
Partie I
etet donc forme une base desont linéairement indépendant .
On a2=puis3=2=2. Par récurrence :=−1..
∀,∈,∃α,β,α′,β′∈ℝtels que=(α+β) et=α′+β′. On a alors
=αα′+(αβ′+α′β+ββ′)∈.
Commeαetβcommutent :
=(+)=( ) ( )= − −1
α β=∑0α−βα+∑=1α β
donc=α+1((α+β)−α).
α+β⋱β α+⋮αβ+ββ⋯ββα+αββ⋯β
On a det == =0 0
β α+βα+⋮β β⋱α+β0⋮0⋱α
donc det=α−1(α+β)
La matriceest inversible ssiα≠0 etα≠ −β.
En reprenant la formule du 3. avecα=′1 te β′ = −β+βon a=d’où=−1.
α α(α)
Partie II
21
0=0car ()2=1donc0est un projecteur.
1=−0donc1est le projecteur complémentaire de0.
Comme1est le projecteur complémentaire de0:
ker0=Im1et ker1=Im0.
dim ker1=dim Im0=rg(0)=rg()=rg()=1 .
dim ker0=dim Im1=−dim ker1=−1 .
Comme0 Imest la projection vectorielle sur0 kerselon la direction0on a
Mat′(0)=diag(1, 0,…, 0) comme et1=−0 Maton a′(1)=diag(0,1,…,1) .
1
0=∈et1=−1∈.
De plus les représentations de0et1d’observer que ces matrices sont linéairementpermettent
indépendantes, elles forment une base de.
λ0+1=α+β⇔λ=α+β,=α.
0et1commutent puisque01=10=.
(λ)∑(λ)− () donne
=0+1=0 1
=0
−
α
=λ0+∑−11λ 01+1=λ0+1=(α+β)+0.
=
et enfin=α+((1α+β)−α).
