Correction : Algèbre linéaire, Inversion d'une matrice
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d’après INA 1998
Correction
Préliminaire :
=diag(λ1,…,λ) avec∀1≤,≤,λ=λ⇒≠.=(,) .
On a=(λ,) et=(λ,) .
Si=alors∀1≤,≤,λ =λ d’où∀1≤≠≤,,= ainsi0 etapparaît comme
, ,
étant diagonale.
1.
2.
3.a
3.b
4.a
4.b
1.a
1.b
1.c
2.a
Partie I
()=() donne=puis=caretsont des matrices symétriques.
==donccommute avecet par suiteest diagonale.
=(,),=(′,) avec′,=,.
Par produit matriciel :δ=∑′,,=∑2,.
=1=1
Si aucune colonne den’est nulle alors∀1≤≤,δ≠0 .
Par suiteest inversible.
Comme= on a (det)2=det ≠0 et doncinversible.
Comme=−1avecinversible, on a aussiinversible.
Comme= on a−1= −1. De plus=−1donc
−1=−1−1=−1−1.
−1=diag(1λ1,…,1λ) ,−1=diag(1δ1,…,1δ) donc
−1−1=diag(1λ1δ1,…,1λδ) .
= et
−1−1=(,) avec,λ δ,
−1=−1−1=( ) avec,=∑=1,′,=∑=1λ,δ,.
,
Partie II
En développant selon la première colonne :
−1 0⋯ ⋯0
−1 2−1 0
=2−1+⋱ ⋱ ⋱
⋱ ⋱−1
0−1 2[ 1]
−
puis en développant selon la première ligne :
.
=21−2
− −
() est une suite récurrente linéaire d’ordre 2
Sachant1=2 et2=3 on obtient=+1 .
oui
développer les sinus.
2.b
2.c
3.a
3.b
3.c
4.
1
Posons==⋮.
Pour tout 2≤≤−1 := −sin (−+1)1π+2sin+π1−sin (++)11π
et de plus cette formule vaut aussi pour=1 et=.
Pour tout 1≤≤:=(2−2 cos+π) sin+π
1 1
donc==λavecλ=2−2 cos+π1 .
est la matrice de colonnesλ11,…,λ.
Pour=diag(λ1,…,λ) ,a pour colonnesλ11,…,λ.
Donc=
.
De plus les coefficients diagonaux desont deux à deux distincts puisque la fonction cosinus est
injective sur 0,π.
=sinπ
,+1 .
Recos 2e2Ree21 e22Re(1)sin sin
∑=1=∑=1=1−−e=e+sin =sincos(+1).
( )sin 1 2(1 cos sin )
=∑=21=2∑=1−=2−2sincos(+1).
1 sinin (π1
s 1
δ==∑12,=∑=12+π1=2− −)2sin+π=2+
+1
car sin+π1=sinπ−+π1 =(−1)−1sin+π 1.
sinπsinπsinπsinπ
Le coefficient voulu est∑1(2 2co+1sπ)+11=∑12(1)+in1s2+π. 1
=−1 2+=+2( 1)
++
