Correction : Algèbre linéaire, Equation matricielle
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Equation matricielle
ℝdésigne l’ensemble des nombres réels.
On considèreun entier naturel supérieur ou égal à 2.
On notera :
2(ℝ) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels,
2(ℝ des matrices inversibles de) l’ensemble2(ℝ) ,
2(ℝ) l’ensemble des matrices diagonales de2(ℝ) et
la matrice identité de2(ℝ) .
Le but de ce problème est l’étude des ensembles()={∈2(ℝ) /=}.
Dans les parties II et III,désigne uneℝ-espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base=(1,2) , et
Iddésigne l’identité de.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
1.a
1.b
2.
2.a
2.b
2.c
Partie I : Etude générale
() est-il un sous-espace vectoriel de2(ℝ) ?
Soit∈() . Montrer que∈2(ℝ que) et−1∈() .
Soit∈() et∈2(ℝ) . Montrer que−1∈() .
Montrer que()∩2(ℝ) est un ensemble fini dont on déterminera le cardinal.
On considèreou égal à 2, et on appelleun entier naturel supérieur le plus grand diviseur commun à
et. Montrer que()∩()=() .
Partie II : Cas p=2
Soit=une matrice de2(ℝ) et=−−.
Exprimer la matrice.
En déduire queest inversible ssi−≠ exprimer son inverse0 et−1lorsque tel est le cas.
Soitun élément de(2) tel que≠et≠ −et soitl’endomorphisme dedont la matrice
dans la baseest.
=
Démontrer que ker(−Id)⊕ker(+Id).
En déduire qu’il existe une base dedans laquelle la matrice deest10−10.
Montrer qu’il existe quatre réels,,ettels que−≠0 et=1−2+−−2−.
Partie III : Cas p=3
Dans toute la suite du problème,désigne un élément de2(3) , etl’endomorphisme dedont la matrice
=
dansest. On considère les ensemblesker(−Id) et=ker(2++Id) où2=.
1.a Montrer que∩= {0}.
1.b
2.
− − ∈
.
Soit∈3(1 euq ertron M.+()+2())∈3)(1(2ue et q 2( ))
En déduire que=⊕.
Que peut-on dire desiest de dimension 2 ?
= 0−0−.
Si−=0 alors=doncne peut pas être inversible.
Si−≠0 alors1ar le théor
×−= ème d’inversibilitéet pest inversible et
11−.
−
=
−−
=
Notons que2Idcar2=.
=
Soit∈ker(−Id)∩ker(+Id) . On a()=et()= −donc0 .
Ainsi ker(−Id) et ker(+Id) sont en somme directe.
Soit∈. Posons+(. )
= te 2=−2()
2.a
() n’est pas un sous-espace vectoriel car∉() .
Si∈() alors×−1=. Par le théorème d’inversibilité,est inversible et−1=−1.
De plus, en multipliantfois la relation=par−1on obtient=(−1)donc−1∈() .
(−1)=(−1)×(−1)×⋯×(−1)=−1= 1=donc−1∈() .
Soit∈2(ℝ) ,=00donc=00.
Par suite=⇔==1 .
Siest impair alors=⇔==1 et par suite()∩2(ℝ)= {}de cardinal 1.
Siest pair alors=⇔= ±1,= ± par suite1 et
()∩2(ℝ)=0110,−1010,10−01,−10−10de cardinal 4.
Si∈() alors=donc∀∈ℕ,=. Par suite()⊂()∩() .
Si∈()∩() alors==. Par l’égalité de Bézout, il existe,∈ℤtels que+=.
On a alors=()×()=donc∈() . Ainsi()∩()⊂( l’égalité.) puis
Notons qu’il est possible d’écrire=()×() avec,∈ℤcarest inversible.
1.b
1.a
3.
1.
2.
Partie II
4.
d’après Mines de Sup 1998
Le but de cette question est de montrer à l’aide d’un raisonnement par l’absurde quen’est pas de
dimension 1. On suppose donc queest de dimension 1.
Montrer qu’il existe une base=(1,2) detelle quesoit la droite vectorielle engendrée par1et
soit la droite vectorielle engendrée par2.
En considérant le vecteur2(2)+(2)+2, obtenir une contradiction.
On suppose dans cette question queest de dimension 0.
Montrer que (1,(1)) est une base de.
En déduire qu’il existe un réelet un réel non nul1−1− −2.
tels que=2−−
Correction
5.
Partie I
3.b
3.
4.
4.a
4.b
Années d’utilisation :
3.a
Années d’utilisation :
2.b
2.c
1.a
1.b
2.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
On a=+,∈ker(−Id) et∈ker(+Id) car(())=2()=.
Par suite ker(−Id) et ker(+Id) sont supplémentaire dans.
Puisque≠ ±,≠ ± ker(et par suite les espaces−Id) et ker(+Id sont ni l’un ni l’autre) ne
égaux à (. Ce sont donc des droites vectorielles. Soit1′) et (′2 bases de cell
