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David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr
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1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.a
Correction
Partie I
L’application deversqui envoie (sur le coupe, bijective donc) est
∑()( )=∑(1)(2) .
∈(1,2)∈
On en déduit que la loi⊻est commutative car la dernière expression est visiblement symétrique enet
.
Soit,,∈F.
((⊻⊻)()=∑(⊻ )()( )=∑∑()( )( )
| | |
Dans la sommation, l’entierpeut se percevoir sous la formeavecdivisant
donc((⊻⊻)()=∑ ∑()()(( )) soit
| |( )
((⊻⊻)()=∑()(⊻ )( )⊻= (⊻( ) () .
|
Ainsi la loi⊻est associative.
Posonsε()=1 si=1 et 0 sinon.
(⊻ε)()=∑()ε( )=()ε(1)+0=() .
|
Ainsi⊻ε==ε⊻etεest élément neutre.
(F,+) est un groupe abélien (structure connue).
(F,⊻ un magma associatif possédant un neutre.) est
La distributivité de⊻sur+est immédiate.
Oui, (F,+,⊻ un anneau.) est
Partie II
Sietsont premiers entre eux alors ils n’ont pas de facteurs premiers en commun. Par suite
l’ensemble des facteurs premiers intervenant dans le produitest la réunion disjointes des ensembles
des facteurs premiers intervenant danset. Par suiteω()=ω()+ω() puis
(−1)ω()=(−1)ω()×(−1)ω(.
Les nombresαétant deux à deux premiers entre eux, la multiplicativité deentraîne
()=∏(α) .
=1
L’applicationπest bien définie car1|et2|entraîne12|.
Soit∈.
Analyse : Si=12avec1|et2|alors gcd(,)=pgcd(,12)=1pgcd( 1,2) avec
1et2premiers entre eux cas diviseurs respectifs deetnombres premiers entre eux. Ainsi
1=gcd(, de même) et2=gcd(,) .
Synthèse : Posons1=gcd(,) et2=gcd(,) . On a clairement1|et2|. Oretsont
premiers entre eux donc1et2le sont aussi. Puisque1|,2|et1∧2= on a1 ,12|. Par
égalité de Bézout, on peut écrire1=1+1et2=2+2(avec,∈ℤ) donc
12=+(avec,∈ℤ). Or|donc|12. Enfin par double divisibilité=12.
Au terme de cette étude, on peut affirmer :
∀∈,∃!(1,2)∈×,= 1
ce qui se comprend comme étant la bijectivité deπ.
3.b
4.a
4.b
1.
2.
3.
4.
1.a
1.b
2.a
Supposonsetsont premiers entre eux.
(⊻)()=∑()( )=∑ ∑(12)((12)) .
|1|2|
Par multiplicativité deet:
(⊻)()=∑ ∑(1)( 1)(2)( 2)
1| 2|
puis
(⊻)()=∑(1)( 1)∑(2)( 2)=(⊻)()(⊻)() .
1|2|
δ()=∑ le nombre de diviseurs positifs de1 est.
|
σ()=∑est la somme des diviseurs positifs de.
|
Pournombre premier etα∈ℕ∗
1
α={1,,…,α}doncδ(α)=α+1 etσ(α)=α+−−1 1.
α
Par suiteδ()=∏1(α+1) etσ()=∏+1−11.
==1−
Partie III
Supposonsetpremiers entre eux.
Si l’un des deux est divisible par le carré d’un nombre premier, le produitl’est encore donc
()=0=()()
.
Sinondivisible par le carré d’un nombre premier carn’est pas etn’ont pas de facteurs
premiers en commun. Par suite()=(−1)ω()ω()=(−1)ω()(−1)ω()=()() .
(⊻θ)()=∑()=(1)+()=1−1=0 .
|
(⊻θ)(α)=∑()=(1)+()+⋯+(α)=1−1+0+⋯+0=0 .
|α
Si=∏αalors (⊻θ)( )=∏0=sn o0ni 1 is=0
.
=1=1
Ainsi⊻θ=ε=θ⊻.
Remarquons∀∈ℕ∗,()=∑()⇔=⊻θet
|
∀∈ℕ∗,()=∑( )()⇔=⊻.
|
L’équivalence proposée correspond donc=⊻θ⇔=⊻.
Cette dernière est vraie puisqueθetsont inverses l’une de l’autre pour la loi⊻.
Pour=θ⊻(⊻) donne()=∑ ∑( )() .
| |
Partie IV
Les éléments inversibles deℤℤ (sont les)avec∧=1 . Il y en a exactementϕ() .
ϕ()=− 2,1 car 1,…,− premier avec le nombre premier1 sont.
Dans1,αles nombres qui ne sont pas premier avecαsont ceux qui sont divisibles par, il y en a
exactementα−1. Par suite (α)α−1(1)
ϕ= −.
Les inversibles de(ℤℤ×(ℤℤsont les couples formé d’un inversible deℤℤet d’un inversible
deℤℤ. Il y en aϕ()ϕ() .
2.b
2.c
3.a
3.b
1.a
1.b
2.a
2.b
3.
L’application considérée est bien définie car∀,∈ℤ,= ⇒()=()et ()=().
Aisément on vérifie(1ℤℤ)=1ℤℤ×ℤℤ,(()+())=(())+(()) et
(()())=(())(()) .
De plus(())=((0), (0))⇒ |et|donc|car∧= Ainsi1 . ker= {(0)}et
doncest injecti