Correction : Algèbre générale, Résolution d'une équation diophantienne
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1.
2.a
2.b
3.a
3.b
Correction
Partie I
Montrons queℤ2 (est un sous-anneau deℝ,+,×) .
Bien entendu,ℤ2⊂ℝ.
1=+2 avec=1∈ℤet=0∈ℤdonc 1∈ℤ2.
Soit=+2 et′=+′′2∈ℤ2.
−=′(−′)+(−′) 2∈ℤ2car−′,−′∈ℤ.
=′(+′2′)+2(+′′)∈ℤ2car′+2′,+′′∈ℤ.
Doncℤ2 (est un sous anneau deℝ,+,×) .
Soit∈ℤ2.
L’existence du couple (, de la définition de) découleℤ2.
Etudions l’unicité :
Soit (,)∈ℤ2et (′,′)∈ℤ2deux couples solutions.
On a=+2=′+′2 donc−′=(′−) 2 .
Si≠′alors 2=′−∈′ℚce qui est faux.
−
Donc=′puis−=′(−′) 2=0 donc=′.
Notonsϕ:ℤ2→ℤ2l’application définie parϕ()=.
ϕ(1)=ϕ(1+0. 2)=1−0. 2=1 .
Soit=+2 et=′+′′2∈ℤ2.
(+′)=((+′)+(+′ )) 2=(+′)−(+′) 2
ϕ ϕ
=(−2)+(′−′2)=ϕ()+ϕ(′)
ϕ(′)=ϕ((′ +2′)+(+′′) 2)=(+′2′)−(′+′) 2
etϕ()ϕ(′)=(−2 )(−′′2)=(+2′)−(′+′) 2
doncϕ(′)=ϕ()ϕ(′) .
Ainsiϕest un morphisme de l’anneauℤ2dans lui-même.
On constate=, il s’ensuit queϕest involutive et donc bijective, c’est donc un automorphisme de
ℤ2.
Pour=+2∈ℤ2,()=2−22∈ℤcar,∈ℤ.
Pour,∈′ℤ2,(′)=′′=′ ′=′′=()(′) .
Soit∈ℤ2.
Siest inversible alors−1=1 et donc()(−1)=1 .
Or(),(−1)∈donc(),(−1)∈ {1,−1}.
Inversement, supposons()∈ {1,−1}.
Si()=1 alors=1 et doncest inversible d’inverse.
3.c
1.a
1.b
1.c
2.a
2.b
3.a
3.b
3.c
Si()= −1 alors= −1 et doncest inversible d’inverse−.
Dans les deux casest inversible
est le groupe des inversibles de l’anneau (ℤ2,+,×)
Partie II
Sachant que 0∉ (, on a,)≠ .(0, 0)
Si≥0 et≥0 , puisqu’au moins l’un des deux est non nul,=+2≥1 .
Même principe.
Si≤0 alors−1= ±= ±(− formé de deux coefficients de même signe, compte tenu de2) est
1.a et 1.b, on a−1≥1 et donc≤1 .
+
Soit=+2∈.
On a>1 , donc, de par la question 1.,≥0 et≥0 .
Puisque()=2−22=1 :
+ on ne peut pas avoir=0 ,
+ on ne peut pas avoir=0 sans que= qui donne1 ce=1 ce qui est exclu.
Par suite>0 et>0 .
=1+2∈+car>1 et()=2−22= −1 .
De plus, grâce à 2.a,∀∈+,=+2 avec,∈ℕ∗donc≥.
Ainsiest le plus petit élément de+.
Pour=lnnl ∈, on a≤<+1.
Comme∈et queest un sous groupe,+1∈.
+1
De plus∈donc∈.
Puisque+1>1+1+1= ≤etest le plus petit élément de+donc
∈+. Or .
on a
+1is
=pu=.
Puisque∈,∀∈ℤ,∈.
De plus−1∈donc∀∈ℤ,−∈.
Ainsi{±/∈ℤ}⊂.
Inversement.
Soit∈. Assurément≠0 .
Si>1 alors∈+donc∃∈ℕtel que=.
Si=1 alors=0.
Si 0<< 11 alors∈+et donc∃∈ℕ, 1=d’où=−.
Si<0 alors=1()∈et>0 donc∃∈ℤtel que=puis= −.
− = − ×
Dans tous les cas∈{±/∈ℤ}.
Finalement={±/∈ℤ}.
