Correction : Algèbre générale, Homographies conservant U
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Homographies conservant U
Notations
On noteℝl’ensemble des nombres réels etℂl’ensemble des nombres complexes.
On introduit les sous-ensembles deℂsuivants :
={∈ℂ/=1}={θ/θ∈ℝ},={∈ℂ/ Im()>0}et={∈ℂ/<1}.
Définition
Soit,,,∈ℂtels que−≠0 .
On appelle homographie définie par la relation()=++l’applicationà valeurs dansℂqui à tout
∈ℂtels que+≠ par0 associe++.
Partie I - Exemple
Soitl’homographie définie par()=11+.
−
1.a Montrer que∀∈tel que≠1 ,()∈ℝ.
1.b Observer que∀∈,()∈.
2.a Déterminer les complexestels que()=.
2.b Pour quel(s)∈ℂl’équation()=d’inconnue≠1 possède-t-elle une solution ?
Soitl’homographie définie par()=−.
+
3.a Montrer que∀∈ℝ,()∈.
3.b Observer que∀∈,()∈.
1.
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
4.
Partie II - Homographies conservant U
Soitθ∈ℝetl’homographie définie par()=eθ.
Montrer que∀∈,()∈.
Soitα∈ℂtel queα∉,θ∈ℝetl’homographie définie par()=eθα++α .1
Montrer queest bien une homographie et queest définie sur.
Montrer que∀∈,()∈.
Inversement, nous allons démontrer que seules les homographiesprécédentes sont telles que
∀∈,()∈. Avant cela, nous avons néanmoins besoin de deux résultats techniques :
Etablir que∀α,β∈ℂ,α+β2=α2+β2+2 Re(αβ) .
Soit,∈ℂ. Etablir :(∀θ∈ℝ,+2 Re(e−θ)=0⇒)=0 .0
=
Soit,,,∈ℂtels que−≠0 etdéfini a= +une homo
e p r( )+graphie définie sur
telle que∀∈,()∈.
4.a
4.b
4.c
4.d
4.e
4.f
1.a
1.b
2.a
2.b
3.a
2.b
1.
2.a
2.b
3.a
3.b
Etablir∀θ∈ℝ,2+2+2 Re(e−θ)=2+2+2 Re(e−θ) .
2+2=2+2.
En déduire :
=
Si=0 : montrer que l’homographieest du type présenté en II.1.
Si≠ (0 : établir que2−2)(2−2)=0 .
Observer que le cas=est impossible de part la condition−≠0 .
Observer que le cas=conduit à une homographiedu type présenté en II.2.
Correction
Partie I
Soit∈\{1}. On peut écrire=eθet alors avecθ∈]0, 2π[.
θ
()=11−+eeθ−=22cs(osniθ(θe)2)2eθ2θ2= −cotθ2∈ℝ.
2
Soit∈.()=(1+1−)(12−)= −12I−m(2)+11−−2∈car<1 .
2
()=⇔2+(−1)+=0 . =(−1)2−4= −6=(3(1−) .
Les solutions sont (1−) 1±. 3
2
Soit∈ℂ\{1}.()=⇔(1+)=(−1)⇔= −11−−=+−
t∈ℝ.
Soi()=−+=22++1=1 donc∈.
1
−+or−2=Re()2+(Im()−1)2et 2R
Soit∈.()=+ =
−<+car Im()>0 et par suite()∈.
Partie II
e()
2+(Im()+1)2donc
∀∈ e, oθ
n a()= =1 donc()∈.
La condition−≠0 impose eθ×1−αeθα≠0 i.e.α≠1 d’oùα∉.
De plus∀∈,≠ −1αdoncest définie sur.
e =+α×=+α=1.
( )=θα++α)( a n1O .α+1α+
α+β2=(α+β)(α+β)=αα+αβ+αβ+ββ=α2+β2+2 Re(αβ) carαβ=αβ.
Supposons∀θ∈ℝ,+2 Re(e−θ)=0 .
Soitα∈ℝtel que=eα(α=arg()[2π]si≠0 ,αquelconque sinon).
Pourθ=α:+2 Re(e−θ)=+2 Re()=+2=0 .
Pourθ=α+π:+2 Re(e−θ)=+2 Re(−)=−2=0 .
2
Le système−+2== iquemi0lp0 =0 et=0 i.e.=0 .
4.a
4.b
4.c
4.d
4.e
4.f
(eθ)=eeθθ++.(eθ)=1 impliqueeθ+2=eθ+2d’où
∀θ∈ℝ,2+2+2 Re(e−θ)=2+2+2 Re(e−θ) .
∀θ∈ℝ, on a(2+2−2−2) +2 Re((−)e−θ=0 d’où
2+2−02−2= 0siup2+2=2+21)()(2 .
− = =
Supposons=0 . (2) donne=0 , or−≠0 donc≠ par suite0 et=0 .
θ
=
(1) donne alors=ce qui permet d’écrireeet alors()=++=eθ.
Supposons≠0 . (2) donne=et2×(1) donne alors4+22−22−
(2−2)(2−2)=0 .
2
2=0 d’où
Supposons=. On peut alors écrire=eθet=e−θmais alors−=0 qui est exclu.
Supposons=. On peut alors écrire=eθet=eθet alors
()=++=eθ++=eθα++αavecα=∈ℂ.
1 1
Enfin la condition−≠0 donne2eiθ−eθ≠0 donc≠puisα∉.
Finalementest du type annoncé.
