Colle N°38: Géométrie affine euclidienne

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S38

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

´
El´ementsdetopologieduplan
Lechoixd’unebasepermetd’identifierleplange´om´etrique`aR2.
D´efinition:
•Laboule ouvertede centrea= (a1 a2)et de rayonr >0est
B(a r) ={x∈R2| kx−ak< r}.
•Une partieΩdeR2estouvertelorsque,∀a∈Ω∃r >0 B(a r)⊂Ω.
D´efinition:SoitΩune partie deR2eta∈R2. On dit queaesttenerh´ada`Ωsi∀ε >0
¯ ¯
Ωe’deenssemblltsadpoinnest´hrea`Ω.Ωest app l´e l’ecner´edhadeΩ.
e e

Lemme—´Equivalencedesnormes—.Soitx= (x1 x2)∈R2. Alors
.

max{|x1||x2|} ≤ kxk ≤2 max{|x1||x2|}

B(a ε)∩Ω6=∅. On note

Continuit´ed’unefonctiondedeuxvariables
D´efinition:Soitf: Ω→Rtonusrevuuenofefiniedannctiond´ΩdeR2,a∈Ω. On dit quefest continue ena
lorsque
∀ε >0∃η >0∀x∈Ωkx−ak ≤η⇒ |f(x)−f(a)| ≤ε

On dit quefest continue surΩ, si elle est continue en chaque point deΩ.

Proposition.—poly,lesionsjectpsor,neltioie´nfiedsdneaiomsdurlerusseunitnoctnoSe,idclnnieronaueemmoˆnl,se
les fonctions polynomiales et les fonctions rationnelles.

Th´eor`eme.—Op´erationssurlesfonctionscontinues—.
•Soitf gdeux fonctions continues dans Ω. Alorsλf+µg,f×get (f g) (signe s’annule pas dans Ω) sont
continues dans Ω.
•deuee´detcoifxnontinnscostcouese.eunitnoluqsrlle’tseeefid´e,nicolaosmp

Corollaire.—Continuit´edesapplicationspartielles—.Sifest continue enaalors les applications partielles
•fa1:x17→f(x1 a2) et
•fa2:x27→f(a1 x2)
sont continues ena1eta2t.repsevitcneme
Savoir-faire :rdselitiosmpcoesitrapsnoutesellee´se´it´edesapplicatitedueilrcanoitunt7→fx(t) y(t)ourdpntrer´emo
qu’une fonctionfn’est pas continue.

D´erive´espartiellespremie`res
D´efinition:Soitf: Ω→Reruvteiusuronde´nfiΩdeR2eta= (a1 a2)∈Ω.
•Si la fonction partiellefa1ntd´eesbleerivaa1, on dit quefadmet une´edpaeev´ritreillperaarpprot`ax1
ena. On note
D1f(a) = (fa1)′(a1) =∂f∂x1(a1 a2) =xl1i→ma1f(x1ax21)−−af1(a1 a2)
•Si la fonction partiellefa2revits´deleabena2, on dit quefadmet unepaoptra`elleparr´eeparti´dvirex2
ena. On note
D2f(a) = (fa2)′(a2) =∂xf∂2(a1 a2) = limf(a1 x2)−f(a1 a2)
x2→a2x2−a2
−−→
•Legradientdefenaest le vecteurgradf(a) = (D1f(a) D2f(a)).
On dit quefest declasseC1surΩsifamdteedelleerpse`impser´esdv´rispeetiarpporarrat`ax1etx2en tout point
continues dansΩ.
adeΩet si les fonctionsa7→D1f(a)eta7→D2f(a)sont1

The´or`eme.—•Soitf gdeux fonctions de classeC1dans Ω. Alorsλf+µg,f×get (f g) (signe s’annule pas
dans Ω) sont de classeC1dans Ω.
•esalocin,ee´depmsoctioefonclasnsdeolll’eqursefid´steeC1est de classeC1.

Savoir-faire :nlua’udcmdolcsee´´sdorpeevdieee´necsfpoart-iellesd’unrpdoiu,t’dnusemome,d’unquotienct,
tionsC1.

Corollaire.—De´riv´eespartiellesencoordonn´eespolaires—.Soitf: Ω→Rde classeC1. En posantg(r θ) =
f(rcosθ rsinθ(`u,o)r θ)∈R+⋆×]−π π[, on a :

1
•∂f=θ ∂g−∂g
∂xcos∂r rsinθ∂θ

g
•y∂∂f= sin∂r∂gθ+rosc1∂θ∂θ

The´ore`me*.—ExistencedeDLd’ordre1pourlesfonctionsdeclasseC1—.Soitf: Ω→Rune fonction de classe
C1eta= (a1 a2)∈Ω. Alorsfadmet unntlipemee`almit´lepo´dverd’o1reau voisinage dea:

f(x) =f(a) +D1f(a)(x1−a1) +D2f(a)(x2−a2) +o(kx−ak)

De´riv´eespartiellesd’ordre2
D´efinition:Soitf: Ω→R.fest de classeC2sifest de classeC1tseseiv´ed´ereitrapsemerpselleseri`D1f: Ω→R
etD2f: Ω→Rsont de classeC1. On note alors
D11f=D1(D1f) =∂2f2
1(D2∂x∂12DD1222ff==DD22((DD21ff=)=)∂∂∂2fx∂x222x∂f1
D12f=D f) =∂x1∂xf21

Theoreme .
´ ` * —

Th´eore`medeSchwarz—.Soitf: Ω→Rune fonction de classeC2.

∀x∈Ω∂x∂22xf∂(x) =∂x∂12x∂f2(x)
1

Calculint´egral
De´finition:Int´egraled’unefonctioncontinuesurunrectangle

Th´eore`me.—The´ore`medeFubini—.Soitf: [a b]×[c d]→Rune fonction continue sur un rectangleR. Alors
x7→Rcdf(xxyy))dydx[rutionesnutcesseru[tcontinuesacbd]xf(x y)dxdy=ZabZ"cdf(x y)dy#dx=Zdc"Zabf(x y)dx#dy
y7→Rabf et( ],R

Th´eor`eme*.—The´or`emedeFubini—.Soitf:D→Rune fonction continue sur un domaine admissibleD.
◮siD={(x y)∈R2|a≤x≤b γ(x)≤y≤δ(x)},◮siD={(x y)∈R2|c≤y≤d α(y)≤x≤β(y)},
Dxf(x y)dx dy=ZbaZδγ((xx))f(x y)dy!dxxDf(x y)dx dy=ZcdZβα(y(y))f(x y)dx!dy

1
Th´eore`me*.—Changementdevariable—.Soit Φ : Δ→Dune bijection de classeC.
(u v)7→x(u v) y(u v)
Alors, pour toute fonction continuef:D→Ran`ou,oJ acΦ(u vree’c,Φednid-a`-tstles)ieobacej
∂x ∂x
xf(x y)dx dy=xf◦Φ(u v)|J acΦ(u v)|dudvd´etlenantermiJ acΦ(u v) =∂y∂vyu∂∂
DΔ∂ ∂u
u

Savoir-faire :saesercnlbpeuopreespolaioordonn´.sercnureutceffeiaarevtdenemngha

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