Colle N°37: Espaces vectoriels euclidiens
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S37
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ ´
GEOMETRIE AFFINE EUCLIDIENNE
Points et vecteurs d’un espace vectoriel
SoitEunRe´letnemedsveceorctl.ies´Lepaes-Eruopree´csmoemedvscerontˆetreconsid´.stnioucsourtespdemeom
−→
•nodtnateeuxpn´edsointAetB´dfie,noveceinltruetAB=B−A;
´
•´inpanetontd´tnAet un vecteuru~itlepoin,ond´efintA+u~.
ne u o
Barycentre
Soit (A1 An)∈En, (α1 αn)∈Rntels quePni=1αi6= 0.
n
D´efinition:Il existe un unique pointG∈Etel queXαiG−−A→i=~0E.
i=1
Le pointGestappel´ebarycentreme`eudysts{(A1 α1) (An αn)}. On noteG=Bar{(A1 α1) (An αn)}.
Applications affines
De´finition:Une applicationf:E→Eest diteaffineoitanilnpaencilpai´erelexisteus’iϕ:E→Etelle que
∀(A B)∈E2−−−−f−(−B→) =ϕ−→
f(A)AB
~
En ce cas,ϕest l’palpoilncitae´einreaisoas´ecia`f, on la notef.
Proposition*.—Soitf:E→Eune application affine deEet Ω un point quelconque deE. Alors
~−−→
∀M∈E f(M) =f(Ω) +fΩM
Proposition.—Soitf:E→Eune application affine.
SiG=Bar{(A1 α1) (An αn)}, alorsf(G) =Bar{(f(A1) α1) (f(An) αn)}.
Isome´triesd’unespaceaffineeuclidien
De´finition:SoitEunR-espace vectoriel euclidien.
Une applicationf:E→Eestappel´eeunemosirte´ei:seuruiselle´eprrvseeselnglo
−−−
∀(A B)∈E2kf−(−A−)f(B→)k=kA−→Bk
Proposition.—Unetm´soeiulP.´rpsnoitenffiappeacalieeriunstnt:ecis´eme
Proposition*.—Caracte´risationdesisome´triesvectorielles—.sscoriae´naenoilcatippliL’aeeristee´inua`osiete´m
uneisome´trievectorielle.Pluspr´ecis´ement:
→
f:E→Eietr´esemosienutssi••f~f:∈EO(E)Eest affine
D´efinition:tsdesedm´eneplLaecEsoneeidse´rtsimoltseEtelles quef∈SO(E).
De´placementsduplanaffineeuclidien
Th´eor`eme.—mecesdntd´eslaepcueeidilalpunffianneLE2sont les translations et les rotations.
D´eplacementsdel’espaceaffineeuclidien
The´or`eme.—nemeedstse’lecapneafficleuieidnLesd´eplacE3sont les translations, les rotations et les vissages,i.e
lescompos´eescommutativesd’unetranslationdevecteur~uidir´gpeoidna’exunerotatetd’rau~.
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