Colle N°36: Courbes planes paramétrées

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S36

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS

Produit scalaire
D´efinition:SoitEunR-e.v. On appelleproduit scalairesurE, toute applicationΦ :E2→Rqui est :
´t ique : pour tousx~ety~dansE,Φ(y~x~) = Φ(x~y~);
•syme r
•e;blveuqaira`troahcaaeriil´narppperabiliire:n´ea
•positive : pour toutx~dansE,Φ(~x~x)≥0;
•toutruop:evitisop-ed´efinix~dansE, siΦ(~xx~) = 0, alors~x= 0E.
Dans ce cas, on notera pour tous vecteurs~xet~ydeE:Φ(~yx~) = (x~|~y).
De´finition:UnR-e.v de dim finieEmuni d’un produit scalaire( | )e´taeselppespace vectoriel euclidien(e.v.e).
De´finition:Pour toutx~∈E l ´, l(~x|x~)est positif. On notekx~k= (~x|~x)lanorme euclidiennede~x.
e ree

Proposition.—Identite´sremarquables—.SoitEun eve Pour tous vecteurs~xety~dansE,
• kx~+~yk2=k~xk2+ 2(~x|y~) +ky~k2•(x~|~y) =41k~x+~yk2− k~x−y~k2


Th´eor`eme.—SoitEun e.v.e , (~~yx)∈E2. Alors :
arzSchwchy-Ceua´tdeagilnIe´|(~x|y~)| ≤ kx~k  k~yket´´eecligavassi~xety~ires.ocil´naeostn
l´aeigraelit´etriangIunk~x+~yk ≤ kx~k+k~yket´´eecligavassi~xety~esenmemetdeires.silocae´ntnos
ˆ

Familles orthogonales, orthonormales
De´finition:SoitEun eve. Soit~y~xx~1~xpdes vecteurs deE. On dit que :
•~xet~ysontorthogonauxsi(~x|y~) = 0;
•la famille(x~1  x~p)estorthogonalesi∀(i j)∈[1 p]]2,i6=j⇒(x~i|x~j) = 0;
~
•la famille(~x1  x~p)estorthonormalesi∀(i j)∈[1 p]]2,(x~i|xj) =δij;
•la famille(x~1  x~n)est uneeem´esabhtrorono(BON) deEsi c’est une base et une famille orthonormale.

Proposition.—Dans un eve, toute famille orthonormale est libre.

Th´eor`eme.—OrthonormalisationdeGram-Schmidt—.SoitEun eve et (e~1  e~p) une famille libre de vecteurs.
Alors, il existe une famille orthonormale (~ǫ1  ~ǫp) telle que∀k∈[1 p]]Vect(e~1e~k) =Vect(~ǫ1ǫ~k).
Savoir-faire :fenulimailel`erb’aaledidroupedc´orthonormaliser.S-Gednoitaslimaoronthord’´e

Corollaire.— TBONI —.Un espace vectoriel euclidienEtroh-afimlloent,touteecis´emeulP.´rpsededNOBspo`ess
normale deEderohtabes´meenoroetl´mpconenuee´eperteˆtueE.

Proposition.— Calculs en BON —.SoitEevunaperrtpoe´a`nuBeNOB= (~e1     en).
~
Soit~x=Pni=1xi~eiet~y=Pin=1yi~eides vecteurs deE, alors
n n n
~X(x~|e~i)~ei•(~x|y~) =Xxiyi• kx~k2=X
•x=
i=1i=1i=1

x2
i

Orthogonal d’une partie, projecteurs orthogonaux, symetries orthogonales
´
De´finition:SoitEun eve etAune partie deE. On appelleorthogonaldeA, et on noteA⊥l’ensemble des vecteurs
deErtogohoxuanota`elsucevsteursdeA:A⊥={~x∈E| ∀a∈A(x~|a) = 0}
Remarque :A⊥est toujours un sous-e.v deE,mˆemesiAne l’est pas.

Proposition.— Supplementaire orthogonal —.SoitEun eve,Fun sev deE. AlorsFetF⊥iatneme´lppustnoss:re
´
F⊕F⊥E.
=
De plus,F⊥slveseueseltesnutpapla´leemteogoniorretdhF. On l’appelleleedlanogtaeneml´horteoirusppF.
1

D´efinition:SoitFun sous-espace d’un espace vectoriel euclidienE.
•Laprojection orthogonalepF:E→Eest la projection surF`elerall`amentapF⊥.
•Laogohelanrietrteom´sysF:E→Epaoptra`trieparrtlasym´eseF,aparll`antmele`eF⊥.

Proposition.—Caract´erisationduprojete´orthogonal—.SoitEun eve,Fun sev. Pour tout couple (y~x~)∈E2,

~
~(x~)•⇐⇒•~xy∈~F
y=pF−y∈F⊥

Proposition.—Distanced’unpointa`unsev—.SoitEun eve etFun sev. Pour tout couple (~xy~)∈E×F,
k~x−(x~)k ≤ kx~−~yk
pF
k~F(x~)kest la distance minimale entrex~et un vecteur deF. On noted(x~F) =kx~−pF(x~)k.
x−p

Proposition.— Expression depFen BON —.SoitEun eve,Fun sev deEportrapuneB´e`a(NO~e1~ep).
∀x~∈E pF(x~) =Xpi=1(~x|e~i)~ei

Savoir-faire :u’devitatnese´rpreceriatamelirrucndesiatlrdaucel,caltionojecneprurnv’uteecconst~x`aF
Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales

De´finition:SoitEun eve,f∈ L(E). On dit quefest unautomorphisme orthogonalelrpreev´rsei’plstodui
scalaire, i.e.∀(y~x~)∈E2(f(x~)|f(y~) = (~x|~y).

Proposition*.— Groupe orthogonalO(E)—.SoitEun eve
Tout automorphisme orthogonal surEest bijectif et Detf=±1.
L’ensemble des automorphismes orthogonaux forme un sous-groupe de (GL(E)◦)a,pple´egroupe orthogonal
deEe´tonteO(E).
eterded´nauxhogoostrsiemrohptumosadelembseenL’de(uemruosnrg-sepuonami´entl`gafoa1O(E)◦e´),appel
groupespe´cialorthogonaldeEe´totneSO(E).

Proposition*.—Caract´erisationsdesautomorphismesorthogonaux—.Soitf∈ L(E). Les asse :
~•fest un automorphisme orthogonal :∀(~x~y)∈E2(f(~x)|f(y~)) = (x~|y~) ;
•frme:veernolapesr´∀~x∈Ekf(~x)k=kx~k;
w•Pour toute BONe~1  e~ndeE,f(e~1)   f(~en)est une BON.

D´efinition:Soitn∈N⋆. On dit que la matriceΩ∈ Mn(R)estorthogonalesi :tΩΩ
l’ensemble des matrices orthogonales.

=In. On noteOn(R)

Proposition*.— Groupe orthogonalOn(R)—.Soitn∈N⋆.
Toute matrice orthogonale Ω est inversible et Ω−1=tΩ. En particulier Det(Ω) =±1.
(On(R)×) est un sous-groupe de (GLn(R)×ppel´ea,)groupe orthogonald’ordren.
L’ensembleSOn(Raninegt´`aalst1eanogdsele´demretdesmatricesortho)sug-nuosde(eorpuOn(R)×)el´e,app
groupespe´cialorthogonal.

Proposition*.—Caract´erisationdesmatricesorthogonales—.Soit Ω∈ Mn(R). NotonsC1     Cnles colonnes
de Ω. Les asse :~•Ω∈On(R)
w•(C1     Cn) est une BON deMn1(R)

Proposition*.— Liens entre automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales —.
Soitf∈ L(E) un endomorphisme d’un eve de dimensionne`t´neauraorppNOBB. Alors,fest orthogonalsi et
seulement sila matriceMB(f) est orthogonale dansOn(R).
nt,suemeproq´eciRiotn∈N⋆un entier et Ω∈ Mn(R). On notef:Rn→Rnl’icatapplenemqunite´nilnoionaceria
associ´eea`Ω.Alors,Ωestorthogonalesi et seulement sifest un automorphisme orthogonal deRn.

2

Isome´triesduplanetdel’espace
I ´tries du plan
some

The´ore`me*.—StructuredeO2(R)—.Le groupeO2(Ro’dreldstsocere2cesoatrigonartho´etutinsuxdede)msed
types de matrices :
◮Les matricesR(θ) =sincosθθ−cossinθθ, pourθ∈R. Les matricesR(θ) sont les matrices orthogonales directes,
ellesformentlegroupesp´ecialorthogonalSO2(Rntat´eseenBOivesoratdNsesitnoones.C)rtamseltrperseci
vectorielles.
sinθ
◮Les matricesS(θ) =sinsocθθ−cosθ, pourθ∈R. Les matricesS(θ) sont les matrices orthogonales indirectes.
Cesontlesmatricesrepre´sentativesenBONdesr´eflexions.

The´ore`me*.—StructuredeO(E)—.soitEun eve de dim 2 etf∈O(E).
◮Si Det(f) = 1, alorsfest une rotation.
◮Si Det(f) =−1, alorsf xion. ´flest un
e re e

Isom´etriesdel’espace
De´finition:Rotationdel’espace—.Soitu~un vecteur non nul deE, etθ∈R. On noteD=Vect(u~)etP=D⊥.
La rotation d’axeDet d’angleθest l’endomorphismeRotθ~u∈ L(E)tel que
•les vecteurs deDsont invariants parf;
•la restriction defau planP, muni de l’orientation induite par celle deDest la r