Colle N°34: Formules de Taylor

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S34 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´FORMULES DE TAYLOR ET DEVELOPPEMENTS LIMITES Formules de Taylor nPolynoˆmes de Taylor d’une fonction de classe C nD´eﬁnition : Soit f ∈C (I,R) et a∈ I. On appelle polynoˆme de Taylor de f en a de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n, le polynoˆme T d´eﬁni par :n n′ ′′ (n) (k)Xf (a) f (a) f (a) f (a)2 n k T (x) =f(a)+ (x−a)+ (x−a) +···+ (x−a) = (x−a) .n 1! 2! n! k! k=0 Formules de Taylor Th´eor`eme.— Formule de Taylor avec reste int´egrale n+1Soit n∈N un entier naturel et f :I →R une fonction de classe C sur I, et a∈I. Alors Z x′ (n) nf (a) f (a) (x−t)n (n+1) ∀x∈I, f(x) =f(a)+ (x−a)+···+ (x−a) + f (t)dt 1! n! n!a Savoir-faire : utiliser la formule de Taylor avec reste int´egrale pour obtenir des encadrements du reste : Th´eor`eme.— In´egalit´e de Taylor-Lagrange +n+1 (n+1) Soit f ∈C (I,R), a∈I et M ∈R tel que ∀t∈I, f (t) ≤M. Alors n (k) n+1X f (a) |x−a| k∀x∈I, f(x)− (x−a) ≤M k! (n+1)! k=0 Savoir-faire : utiliser les in´egalit´es de Taylor-Lagrange pour montrer la convergence de ”s´eries”, des suites dont lePn terme g´en´eral est S = u :n k0 Th´eor`eme.— Formule de Taylor-Young nSoient n∈N un entier naturel et f :I →R une fonction de classe C sur un intervalle I contenant a. Alors ′ (n) f (a) f (a) n n∀x∈I, f(x) =f(a)+ (x−a)+···+ (x−a) +o (x−a) 1! n!

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S34

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ ´
FORMULES DE TAYLOR ET DEVELOPPEMENTS LIMITES

Formules de Taylor
PolynˆomesdeTaylord’unefonctiondeclasseCn
D´eﬁnition:Soitf∈ Cn(IR)eta∈I. On appelleplodemeˆoynorylTadefenaeded´fnie´rguroueriel`a´egan,
lepolynoˆmeTninﬁ´ed:rap

Tn(x) =f(a) +f′1!(a()x−a) +f′′(!2a()x−a)2+  +f(nn)!(a)(x−a)n=Xnf(kk)(!a)(x−a)k
k=0

Formules de Taylor

The´ore`me.—FormuledeTayloravecresteint´egrale
Soitn∈Nun entier naturel etf:I→Rune fonction de classeCn+1surI, eta∈I. Alors

n+x(x−
∀x∈I f(x) =f(a) +f′(1!a()x−a) +  +f(nn)(!a)(x−a)Zan!t)nf(n+1)(t)dt

Savoir-faire :itudelemuorafrlselidacnemerrineesed:tesdntesurceertsieaTlyrovaepourobtnt´egral

The´ore`me.—Ine´galite´deTaylor-Lagrange
Soitf∈ Cn+1(IR),a∈IetM∈R+tel que∀t∈If(n+1)(t)≤M. Alors

nf(k)(a)n+1
∀x∈If(x)−kX=0k! (x−a)k≤M|x(n−+a|1)!

Savoir-faire :ylordeTat´esgalinie´lrseilesuitntlesuitesdoei”sd,sede”e´sreernvncgeertrcolauopenomrgaL-gnar
termeg´en´eralestSn=Pn0uk:
´ `
Theoreme.— Formule de Taylor-Young
Soientn∈Nun entier naturel etf:I→Rune fonction de classeCnsur un intervalleIcontenanta. Alors

∀x∈I f(x) =f(a) +f′!(1a()x−a) +  +f(nn)!(a)(x−a)n+o(x−a)n

D´eveloppementslimit´es
¯
Deﬁnition :SoitIun intervalle,a∈I,f:I {a} →Retn∈N. On dit quefadmet unve´d`eantlimit´eloppeme
´
l’ordrenen un pointaemoˆnylopneustxile’isP∈Rn[X]tel que
(DLn(a))∀x∈I {a} f(x) =P(x−a) +oa(x−a)n
Red´ﬁnition analogue au voisinage de±∞.
marque :on a une e
Savoir-faire :mieretd´´endruneruopvois´eauedeinagppmeevolmitinelta(resp.±∞), le changement de variable
x=a+t(resp.x= 1t) permet de se ramener au voisinage de 0.

Th´eore`me*.—De´veloppementdeTaylor-Young
Soientn∈Nun entier naturel etf:I→Rune fonction de classeCnsur un intervalleIcontenanta. Alorsfoss`edep
und´eveloppementlimite´a`l’ordrenau pointa:

)
∀x∈I f(x) =f(a) +f′!1(a()x−a) +  +f(nn!(a()x−a)n+

o(x−a)n

¯
Th´eor`eme*.—Unicite´dud´eveloppementlimite´—.Soita∈I∪ {±∞}. Soitf:I {a} →Rnade´ssotunefonctionp
und´loppementlimit´ed’ordrenau voisinage dea:
eve

f(x) =a0+a1(x−a) +a2(x−a)2+  +an(x−a)n+o(x−a)
n

Les coeﬃcientsa0 a1     anmrnie´.snedte´etsuniquemsontalor

Corollaire*.—R´egularite´desfonctionsposs´edantunDLn(a)—.Soitf:I→Rune fonction admettant un
de´veloppementlimit´e`al’ordren∈Nen un pointadeI:
f(x) =a0+a1(x−a) +a2(x−a)2+  +an(x−a)n+o(x−a)n

•Sin≥0, alorsfest continue au pointaetf(a) =a0.
•Sin≥1, alorsfesntaelbiopue´dtaviraetf′(a) =a1.

¯
Remarque :lorsquea∈I, etf:I {a} →Radmet unDLn(a), (n∈N) alorsfest prolongeable par continuit´ ena
e
˜ ˜
en posantf(a) =a0. Si de plus,n∈N⋆,larocspeorlongementestd´ervibaelneaetf′(a) =a1.

Th´eor`eme*.—D´eveloppementslimit´esdesfonctionsusuelles
Auvoisinagedel’origine,lesfonctionsusuellesadmettentdesd´eveloppementslimite´sdetousordres:
ex += 1x+x2!2+x3!3+x44! + xn(xn)
cosx= 1−x22! +x44!−x6!6+x8!8−(+−n1)!n+(xo22nn)! +o(x2n)
7 2n+1
sinx=x−x33! +x55!−x7! +x2  + (−1)n(2nx ++ 1)!o(x2n+1)
α∈R(1 +x)α += 1α x+α(α−1) +  +α(α−1)  (α−n+ 1)xn!n+o(xn)
1 = 1 +x+x2+x3+x4+!2  
1−x+xn+o(xn)
1+1x= 1−x+x2−x3+x4−   + (−1)nxn+o(xn)
ln(1 )x−x2x3x44+  + (−1)n−1nxn+o(xn)
+x+23=−

The´ore`me*.—Op´erationssurlesd´eveloppementslimite´s—.Soitfetgadmettent des DL d’ordren’la`origine:
f(x) =P(x) +oxnetg(x) =Q(x) +oxnavec (P Q)∈Rn[X]×Rn[X]

Alors
(f+g)(x) = (P+Q)(x) +oxn
(f×g)(x) =R(x) +oxno,`uR∈Rn[Xpolest]eemoˆnylP×Quqnort´edre`al’orn
si de plusf(0) = 0, (g◦f)(x) =R(x) +oxnu`o,RopelˆenymlotseQ◦Prte´uqnoedrorl’a`n.
si de plusf(0) = 0, 1 + 1f(x) =R(x) +oxn`uoReeltsylopmoˆnek=Xn0(−1)kPk(x)uqe´ontra`’lrorden.
x
siFest une primitive defsurI, alorsF(x) =F(0) +ZP(t)dt+o(xn+1)

Savoir-faire :neuœimesalorpmesivnsnoi’se´eoptiraedvresecre!estnarnidevezvoupas!vous

Applicationsdesd´eveloppementslimit´es
◮laneuqvi’de´crehstionfonctsdeedlumilsuaclacaralheecesitt`,e
◮edelacoledute´’ltion:cnsioctonsf`anuit´e,d´erivabiil´te
◮entgesreltionesduativehtergpatena’dnuedchanetntge,`es´’ladutesedeisopa`alerhcre
◮`adetu´el’cnarbsedinﬁnisehedevoisinagmitie´uappmenelt´endloveyemo’undoitcuasnedsenofs±∞
2

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