Colle N°33: Fractions rationnelles et primitives

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S33 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. FRACTIONS RATIONNELLES ET CALCUL DE PRIMITIVES Corps des fractions rationnelles D´eﬁnition : On appelle fraction rationnelle a` coeﬃcients dans K et d’ind´etermin´ee X toute expression de la forme 2F =P/Q, ou` (P,Q)∈K[X] et Q n’est pas le polynoˆme nul. Deux fractions rationnelles F =P /Q et F =P /Q1 1 1 2 2 2 sont ´egales si P ×Q =P ×Q .1 2 2 1 Proposition*.— degr´e d’une fraction rationnelle —. Soit F ∈ K(X). Le nombre d = d˚P −d˚Q ∈ Z∪−∞ est 2ind´ependant du couple (P,Q)∈K[X] tel que F =P/Q. On note d˚F =d˚P −d˚Q. D´eﬁnition : Soit F =P/Q une fraction rationnelle pr´esent´ee sous forme irr´eductible, et α∈K. Si α est une racine de P d’ordre de multiplicit´e p, on dit que α est un z´ero de F de multiplicit´e p. Si α est une racine de Q d’ordre de multiplicit´e p, on dit que α est un poˆle de F de multiplicit´e p. D´ecomposition en ´el´ements simples Th´eor`eme*.— Partie enti`ere —.Soit F ∈K(X) une fraction rationnelle. Il existe un couple (E,G)∈K[X]×K(X) unique tel que E est un polynˆome, G est une fraction rationnelle de degr´e strictement n´egatif et F =E +G. E est appel´ee la partie enti`ere de F, G est la partie fractionnaire. P Proposition*.— S´eparation des poˆles —. Soit F = une fraction de degr´e strictement n´egatif telle que Q ×Q1 2 2Q ∧Q = 1.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S33

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit

FRACTIONS RATIONNELLES ET CALCUL DE PRIMITIVES

Corps des fractions rationnelles
De´ﬁnition:On appellefraction rationnelles`acoeﬃcientsdanKte’dni´dtereimeen´Xtoute expression de la forme
F=P Q`u,o(P Q)∈K[X]2etQtiraneonctransioD.lufxueˆnylnemo’nseelopptsallseF1=P1Q1etF2=P2Q2
sont´egalessiP1×Q2=P2×Q1.

Proposition*.—degr´ed’unefractionrationnelle—.SoitF∈K(X). Le nombred=d˚P−d˚Q∈Z∪ −∞est
i d´ ndant du couple (P Q)∈K[X]2tel queF=P Q. On noted˚F=d˚P−d˚Q.
n epe

De´ﬁnition:SoitF=P Qnuarfeoitctarnestnrpe´leeloinn´eeelbitcudeirr´ormeousfs, etα∈K.
Siαest une racine dePeredumtldo’dreiplicit´p, on dit queαe´znedorutseFicpl´eitemdtiulp.
Siαest une racine deQo’dumederdrliciltipt´ep, on dit queαdseeoˆelutpnFe´dulempltiiticp.
De´compositionen´el´ementssimples

Th´eor`eme*.—Partieentie`re—.SoitF∈K(X) une fraction rationnelle. Il existe un couple (E G)∈K[X]×K(X)
unique tel queEeˆnmo,etsnuopylGcdteidoengrra´teisotnunneelflreanente´eagtsirtcmefetitF=E+G.
Etaesalepplee´erenti`rapeeitdeF,Gest la partie fractionnaire.

Proposition*.—Se´parationdespoˆles—.SoitF=Q1P×Q2uqeunefractionedede´rgirtsmetctnenga´efttileel
Q1∧Q2= 1. Alors, il existe un couple (P1 P2)∈K[X]2eletequedomnˆlypoquni,uesd˚P1< d˚Q1 d˚P2< d˚Q2et

P P1P2
=
Q1×Q2Q1+Q2

Corollaire*.— Partie polaire —.SoitF∈K(X) etαedeloˆpnuFd´eicittiplemulp∈N⋆. Il existe un couple
(G R)∈K(X)×K[X], unique tel queGest une fraction rationnelle qui n’admet pasαp,eloˆpruoRnptuesmeˆoynol
dedegre´strictementinf´erieur`apet

F=G+(X−αR)p

La fraction rationnelleFα(=X−αR)ptaesalee´lepppartie polaire deFrelativaepuoˆelα.

Corollaire*.—SoitF=P Q∈K(Xcarfnoitenu)euqesnoenaritrre´llieibleductuppo.OnsQse:e´dnicst
n
Q=Y(X−αi)pi
i=1

AlorsFeeit`itneeresedtpaesiertolspreaietse´agel`alasommedesapars.

Th´eor`eme*.—De´compositionene´l´ementssimplessurC(X)—.SoitF=PQ∈C(X) une fraction rationnelle non
nulle`acoeﬃcientslxe´te´esousformeirr´eductible.
comp e s presen
n pi−1
F=Ent(F) +X Xaik
i=1k=0(X−αi)pi−k

n
ou`Q=Y(X−αi)piitnorpmiiaeredsted´laomecsipoQdansC[X].
i=1

Th´eor`eme*.—De´compositionene´l´ementssimplessurR(X)—SoitF=QP∈R(X) une fraction rationnelle non
.
nullea`coeﬃcientsre´elspr´esente´esousformeirre´ductible.
F=Ent(F) +nXpi−1m qj−1bikX+cik
Xaipk
i=1k=0(X−αi)i−k+j=X1k=X0(X2+βjX+γj)qj−k

n m
ou`Q=Y(X−αi)pi×Y(X2+βjX+γj)qjederiamirpnotisipoomecd´lasteQdansR[X].
i=1j=1

Proposition.—SoitP∈C[Xnoto(snnno.Nulynolmeˆou]pnα1     αpt)sdee´orelzsitcndssiP, et (r1     rp) leurs
ordresdemultiplicite´srespectifs.Alorsp
PP′Xri
=
i=1(X−αi)

Pratiquedelade´compositionen´el´ementssimples

Proposition.—Poˆlesimple—.SoitF∈K(X)naitestnrpe´ederleib´errctduPQetα∈KdeiselelpmuoˆpnF,ieque
a0
F=(X−Pα)×Qˆ`ouQ(ˆα)6=.0eitrapaLrerialope`ivatelaαticr´es’Fα=X αo,u`)a0tdonesar:n´ep
(−

P
=
a0Qˆ (α) =PQ′((αα))

Proposition.—Poˆledouble—.SoitF∈K(X)derepr´esetnnaitrre´udtcbilePQetα∈KbuodedelunpˆoleF,ieque
Pˆ
(X−α)2×Q`uQ(α)60=L.itpepararereolaive`alatiαirce´’stFα(=Xa−0α)2(+aX−1α`u,o)a0eta1sont
F= ˆ o
donn´espar:
a0=PQˆ (α) eta1QPˆ′
= (α)

Savoir-faire :reutoesc.ﬀsruopclacreluaselpxetiolaueti,ﬁninl’`aessnoitaulave´serteﬃcie,corit´erpamitisll,´reenest
Applications au calcul de primitives

Proposition*.—

Th´eore`me*—
.

Primitives des fractions rationnelles
• ∀a∈RZxxtd−atln|x−a|+C
=
• ∀a∈RZ(t−a)ndt=n+1(1x−a)n+1+Cpourn∈Z {−1}
x1
• ∀a∈R+⋆Zt2d+at2aArctanax+C
=

Re`glesdeBioche—.Notonsf(t) =F(costsint´d.t)eoPruenrreimZxf(t)dt

•si
•si
•si

f(−t)d(−t) =f(t)dt, alors on poseu= cost
f(π−t)d(π−t) =f(t)dt, alors on poseu= sint
f(π+t)d(π+t) =f(t)dt, alors on poseu= tant

Lorsquef(t)dts,posez´vreenoppresedunuceaiﬁussed-icse´te´iru= tan(t2). On a alors

1 2
cost=−u2int=u
1 +u2 +s 1u2dt+12=uud2

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