Colle N°29: Dimension finie
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S29
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
DIMENSION FINIE
Espaces vectoriels de dimension finie
De´finition:UnK-e.v. est dit dedimension finie`dmafeellis’poil.eg´en´eratricefini
sse e un
Proposition*.—SoitEun e.v. de dim finie surK. SoientL(resp.G) une famille finie etlibre(resp.e)dtareecirg´ne´
vecteurs deE, telles queL ⊆ G. Alors, il existe une baseBdeEtelle queL ⊆ B ⊆ G.
The´ore`me*.—The´ore`medelabaseincompl`ete—.SoitEunK-e.v. de dim finie surK.
Toute famille libre finieLde vecteurs deEeputˆetrecompl´et´eenenubesadeeE.
toDeefutilamg´lee´nertarfiecieinGdeE, on peut extraire une base.
Corollaire.—
Toutespacededimensionfinieposs`ededesbases.
Th´eor`eme*.—The´or`emedeladimension—.SoitEunKe.v. de type fini. Alors toutes les bases deEtmˆeonme
cardinal.Cetentierestappel´eladimension deE.
Th´eor`eme.—Caract´erisationdesespacesdedimensionn—.SoientEun e.v. surKetn∈N⋆. Alors
Eest de dimension finiensi et seulement siErpmo`aheseositKn.
Connaıˆtre:de dim finie et leur dimension.les exemples classiques d’espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Th´eore`me.—Dimensiond’unsous-espace—.SoitEunK-e.v. de dim finie etFun s.e.v. deE. Alors
Fest de dim finie etdimKF≤dimKE.
De plusF=Esi et seulement sidimKF=dimKE.
Th´eore`me.—The´or`emedesquatredimensions—.SoientF Gdes s.e.v. d’unK-e.v. de dimension finieE. Alors
F,G,F∩GetF+Gsont de dimensions finies et
dimKF+G+dimKF∩G=dimKF+dimKG
The´ore`me.—
finie. Alors
.
Caracte´risationdessupple´mentairesendimfinie—.SoientFetGdeux s.e.v d’unK-e.v.Ede dim
FetGntai´emeresspulpnostssi
{~0}
••dFim∩KFG+=diEmKG=dimKE
The´or`eme.—Existencedesupple´mentairesendimfinie—.SoitEunK-e.v. de dim etFun s.e.v. deE. AlorsF
posse`deunsupple´mentaireGdansE. De plusdimKG=dimKE−dimKF
Savoir-faire :rustoncriuesnpulpe´emtnairedeFbenuaesatpad.ee´aumoyend’
1
Familles de vecteurs en dimension finie
Proposition.—Familleslibresetg´ene´ratricesendimfinie—.SoitFune famille de vecteurs d’un
dimension finien. Alors
siFest libre, alorsFest finie etCard(F)≤n.siCard(F)> n, alorsFets.eile´
siF,aectegerrina´tressloFest infinie ouCard(F)≥n.siCard(F)< n, alorsFe’naptse´gs
´
K-e.v. de
ne´ratrice.
Vocabulaire :SoitFune famille de vecteurs d’unK-e.v. dedimension finien.
Fest libre maximale, siFest libre et decardinaln.
Fmila,eisrtcimenieng´ra´esteF´eratriceeetsdteg´encardinaln.
Th´eor`eme.—Caracte´risationdesbasesendimfinie—.SoitEunK-e.v. de dimension finie etFune famille de
vecteurs deEequivalentes:snusvinaetssno´toitressaseL.
Fest une basesi et seulement siFest libre maximalesi et seulement siF´en´estgecirtareelaminim
De´finition:Rangd’unefamilledevecteurs—.On noteRgF=dimKVectK(F).
Proposition.—
SoitFune famille depvecteurs d’unK-e.v.Ede dimension finien∈N. AlorsRgF ≤min{n p}.
Th´eor`eme.—SoitFune famille depvecteurs d’unK-e.v.Ede dimensionn∈N. Alors
• Fgtseatern´´edeceriEsi et seulement siRgF=n
• Fest libre dansEsi et seulement siRgF=p
• Fest une base deEsi et seulement siRgF=n=p
Applicationslin´eairesendimensionfinie
The´ore`me.—Formuledurang—.SoientEetFdes e.v. etu∈ L(E F). On suppose queEest de dim finie. Alors
KeruetImusont de dim finie et
dimKE=dimKImu+dimKKeru
The´ore`me.—Caracte´risationdesisomorphismesendimfinie—.SoientEetFdeuxK-e.v. de dim finie et de
mˆemedimensionetu∈ L(E Fvantessotionssuilaneet:stne´uqviaseLress.)
uest un isomorphismesi et seulement siuest injectifsi et seulement siuest surjectif
Remarque :ppiluqeepnraituclierauxendomorphsiemdsu’nceesr´taul’atsK-e.v. de dim finie.
D´efinition:Rangd’uneapplicationlin´eaire—.SoientEetFdeuxK-e.v. etu∈ L(E F). On suppose queEest
de dim finie. On appellerang deu, et on noteRgu, la dimension deImu.
Proposition.—SoientEetFdesK-e.v. de dim finies respectivespetn, etu∈ L(E F). AlorsRgu≤min{n p}.
Th´eor`eme.—SoientEetF
•
•
•
deuxK-e.v. de dim finies respectivespetn, etu∈LK(E F). Alors
fest injective
fest surjective
fest un isomorphisme
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
2
Rgf=dimKE
Rgf=dimKF
Rgf=n=p
