Colle N°28: Applications linéaires

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erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S28 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´APPLICATIONSLINEAIRES Applications lin´eaires D´eﬁnition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le mˆeme corps K et f : E → F une application. On dit que f est lin´eaire de E dans F lorsque 2 2 ∀(~x,~y)∈E , ∀(λ,μ)∈K , f(λ·~x+μ·~y) =λ·f(~x)+μ·f(~y) Notation : On note L(E,F) l’ensemble des applications lin´eaires de E dans F, L(E) l’ensemble des endomorphismes de E, GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. Proposition.— L(E,F),+,· est un K-ev. Proposition.— Soit f ∈L(E,F) et g∈L(F,G). Alors g◦f : E → G est une application lin´eaire de E dans G. Endomorphismes Proposition.— L(E),+,◦ est un anneau. p p−1D´eﬁnition : Polynoˆme d’endomorphisme —. Soient P ∈K[X], P =a X +a X +···+a X+a et f ∈L(E).p p−1 1 0 On d´eﬁnit P(f)∈L(E) par p p−1 P(f) =a f +a f +···+a f +a idp p−1 1 0 E Th´eor`eme*.— Formule du binˆome et identit´e g´eom´etrique —. Soient f,g deux endomorphismes de E tels que f ◦g = g◦f. Alors pour tout entier n∈N n nX Xnn k n−k n+1 n+1 k n−k(f +g) = f ◦g f −g = (f −g)◦ f ◦g k k=0 k=0 Isomorphismes D´eﬁnition : Soient E et F deux K-ev. On appelle isomorphisme de E sur F toute application lin´eaire et bijective f de E sur F. Proposition.— Isomorphisme r´eciproque −1Soit f ∈L(E,F) un isomorphisme de E sur F.

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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S28

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
APPLICATIONS LINEAIRES

Applicationslin´eaires
De´ﬁnition:SoientEetFdeux espaces vectoriels sur le mˆ sKetf:E→Fune application. On dit quef
eme corp
esteireail´ndeEdansFlorsque

∀(x~y~)∈E2∀(λ )∈K2 f(λ~x+y~) =λf(x~) +f(~y)

Notation :On noteL(E F)lns’eeairesdeionslin´palpcitamelbdeseEdansF,L(E)l’ensemble des endomorphismes
deE,GL(E)l’ensemble des automorphismes deE.

Proposition.—L(E F)+est unK-ev.

Proposition.—Soitf∈ L(E F) etg∈ L(F G). Alorsg◦f:E→Gsteeaunlippticailnoae´nderieEdansG.

Endomorphismes
Proposition.—L(E)+◦est un anneau.

D´eﬁnition:Polynˆomed’endomorphisme—.SoientP∈K[X],P=apXp+ap−1Xp−1+  +a1X+a0etf∈ L(E).
Onde´ﬁnitP(f)∈ L(E)par
P(f) =apfp+ap−1fp−1+  +a1f+a0idE

The´ore`me*.—Formuledubinoˆmeetidentit´eg´eom´etrique—.Soientf gdeux endomorphismes deEtels que
f◦g=g◦f. Alors pour tout entiern∈N
n
(f+g)n=k=Xn0knfk◦gn−kfn+1−gn+1= (f−g)◦Xfk◦gn−k
k=0

Isomorphismes
D´eﬁnition:SoientEetFdeuxK-ev. On appelleisomorphismedeEsurFetbiairein´eionlvieejtclppatacitetuo
fdeEsurF.

Proposition.—Isomorphismere´ciproque
Soitf∈ L(E F) un isomorphisme deEsurF. Alorsf−1est un isomorphisme deFsurEa,e´ppleisomorphisme
re´ciproquedef.

Noyauetimaged’uneapplicationlin´eaire
De´ﬁnition:Soitf:E→F.eil´naerilicationuneapp
l’image defest l’image directe deEparf. On noteImf={f(x~) ;x~∈E}={y~∈F| ∃x~∈E;f(~x) =~y}
le noyau defsteenl’mbsetsdeeledastne´´cdene~0Fparf. On noteKerf={x~∈E|f(x~) =~0F}.

Proposition.—Soitf∈ L(E F), alors

Imfest un sous-espace vectoriel deF.
Kerfest un sous-espace vectoriel deE.

The´or`eme.—caract´erisationdesapplicationslin´eairesinjectives/surjectives
SoientE FdesK-e.v etf∈ L(E Filppaenuilnoitacedirean´e)EversF, alors

•fest surjectivesi et seulement siImf=F
•fest injectivesi et seulement siKerf={~0E}

Imaged’unebaseparuneapplicationline´aire

Proposition.—SoitB= (~e1~en) une base d’unK-evEetf∈ L(E F). Alors
Imf=Vectf(~e1)     f(~en)

~ ~
Proposition.—SoitB= (e~1~en) une base d’unK-evEetF= (f1     fn) une famille denvecteurs deF.

~
Ilexisteuneapplicationlin´eairef:E→F, unique telle que∀i∈[1 n]] f(~ei) =fi

Th´eor`eme.—Caract´erisationdesisomorphismesparlesbases—.Soitf∈ L(E F), (~e1e~n) une base deE.
e~n) est libre dansF
••ffeviesstesintjecttcvirueejsitueseeulesmtienntssieliesmteff((e~e~11))ff((e~n)g´stetrra´eencideeF
•fest un isomorphismesi et seulement sif(~e1) f(~n)est une base deF
    e

Exemplesd’applicationslin´eaires
D´eﬁnition:applicationline´aireaceunematrinocaquni´icoa`eenemessat
SoitA∈ Mnp(K)enamrtciucﬃeoca`enadstneisK´end.Oitﬁn
l’taoilpcie´ialnnireapaossaeica`eanoncmentiqueApar :
´
o`ulescoeﬃc∀i(exn1tsy1xp)∈ynKdpela’(ixm1age soxnpt)o=bt(eyn1us graˆycne)lareontiala`aan1.11aan1ppxx.1p=yy.1n
×
.
matricielle ci-contre.
D´eﬁnition:Projections,syme´tries,aﬃnite´s
SoitE1etE2demenppl´evsueuxsnuse’datriK-evE, de sorte que tout vecteurx~deErce´’s:ueedtiinamere`qinu
~x=~x1+~x2uo`(x~1x~2)∈E1×E2.
Laprojection deEsurE1`antmeapele`llarE2apl’st,etaoilpcie´enntopE1E2:E→Erﬁ:npiaed´e

∀x~=~x1+~x2∈E;pE1E2(x~) =x~1
Lapaoptra`trieparrsym´eE1aparll`antmele`eE2tonnoitacilppa’lst,e´eesE1E2:E→Ed´eap:rnﬁei

∀~x=x~1+x~2∈E;sE1E2(~x) =~x1−~x2
L’rotceve´bedelleieasﬃnitaE1de directionE2et de rapportα, l’applicationf:E→Ee´deinﬁ:rap
∀~x~1+~x2∈E;f(~x) =~x1+α~x2
x=

Proposition.—La projectionpE1E2m´sylaeteirtesE1E2sont des endomorphismes deEreﬁine:tqiu´v
•ImpE1E2=E1•sE1E2◦sE1E2=IdE
•KerpE1E2=E2•sE1E2est un automorphisme deEets−E11E2=sE1E2.
•pE1E2◦pE1E=pE1E2•sE1E2= 2pE1E2−IdE
2

Th´eor`eme.—Soitp∈ L(E) un projecteur,i.e.veriae´nilnoitaclippeaunﬁant´erip◦p=p. Alors
KerpetImpsno,sntmereaiupts´epli.e.E=Kerp⊕Imp
pest la projection deEsurImp`aparlle´elemtnK rp.
ae

Th´eor`eme.—Soits∈ L(E) une involution,i.e.un endomorphisme deEiraﬁve´nts◦s=idE. Alors
Ker(s−IdE) etKer(s+IdEementaires,l´ppsuntso)i.e.E=Ker(s−IdE)⊕Ker(s+IdE)
stlesymasrte´apeiparrtrop`aKer(s−IdEpara)elemlle`tna`Ker(s+IdE).
Savoir-Faire :tnomnu’uqrerstneme´le´setrouversolutifetihmsievnuaotomprurteunouprunecojmsihtseeodneprom
caract´eristiques.

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